专题1.5 抛物线与角-九年级下册初三数学【新课程同步训练】人教版

九年级下册 （人教版） 数学 设直线 DE 的解析式为 y＝mx+n ， ∴ m+n=2 ， -3m+n=0 ! ， 解得 m=- 1 2 ， n=- 3 2 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % . ∴ 直线 DE 的解析式为 y＝- 1 2 x- 3 2 ． ∴ y=- 1 2 x- 3 2 ， y= 3 2 x-3 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x= 3 4 ， y=- 15 8 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % . ∴G 3 4 ， - 15 8 8 ' ． 6. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y＝x 2 +bx+c 经过 A （ -1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ）， 把 A ， B 两点坐标代入上式， 1-b+c=0 ， 9+3b+c=0 ! ， 解得 b=-2 ， c=-3 ! . 故抛物线的函数关系表达式为 y＝x 2 -2x-3. （ 2 ） ∵A （ -1 ， 0 ）， 点 B （ 3 ， 0 ）， ∴AB＝OA+OB＝1+3＝4. ∵ 正方形 ABCD 中， ∠ABC＝90° ， PC⊥BE ， ∴∠OPE+∠CPB＝90° ， ∠CPB+∠PCB＝90° ， ∴∠OPE＝∠PCB. 又 ∵∠EOP＝∠PBC＝90° ， ∴△POE∽△CBP ， ∴ BC PB = OP OE ， 设 OP＝x ， 则 PB＝3-x ， ∴ 4 3-x = x OE . ∴OE＝ 1 4 （ -x 2 +3x ） =- 1 4 x- 3 2 2 - 2 + 9 16 . ∵0＜x＜3 ， ∴x= 3 2 时， 线段 OE 长有最大值， 最大值为 9 16 ． 即 OP＝ 3 2 时， 线段 OE 有最大值 ． 最大值是 9 16 ． （ 3 ） 存在 ． 如图， 过点 M 作 MH∥y 轴交 BN 于点 H ， ∵ 抛物线的解析式为 y＝x 2 -2x-3 ， ∴x＝0 ， y＝-3 ， ∴N 点坐标为 （ 0 ， -3 ） . 设直线 BN 的解析式为 y＝kx+b ， ∴ 3k+b=0 ， b=-3 ! ， ∴ k=1 ， b=-3 ! . ∴ 直线 BN 的解析式为 y＝x-3. 设 M （ a ， a 2 -2a-3 ）， 则 H （ a ， a-3 ）， ∴MH＝a-3- （ a 2 -2a-3 ） ＝-a 2 +3a ， ∴S △MNB ＝S △BMH +S △MNH ＝ 1 2 MH · OB＝ 1 2 × （ -a 2 +3a ） ×3＝- 3 2 a- 3 2 2 - 2 + 27 8 . ∵- 3 2 <0 ， ∴a＝ 3 2 时， △MBN 的面积有最大值， 最大值是 27 8 ， 此时 M 点的坐标为 3 2 ， - 15 4 2 - ． （五） 抛物线与角 1. 抛物线与 90° 角 1. 解： （ 1 ） 由题意可得 a-b+3=0 ， 9a+3b+3=0 ! ， 解得 a=-1 ， b=2 ! . ∴ 抛物线的解析式为 y=-x 2 +2x+3. （ 2 ） ①∵y=-x 2 +2x+3=- （ x-1 ） 2 +4 ， ∴F （ 1 ， 4 ） . ∵C （ 0 ， 3 ）， D （ 2 ， 3 ）， ∴CD=2 ， 且 CD∥x 轴 . ∵A （ -1 ， 0 ）， ∴S 四边形 ACFD =S △ACD +S △FCD = 1 2 ×2×3+ 1 2 ×2× （ 4-3 ） =4. ②∵ 点 P 在线段 AB 上， ∴∠DAQ 不可能为直角 . ∴ 当 △AQD 为直角三角形时， 有 ∠ADQ=90° 或 ∠AQD=90°. i． 当 ∠ADQ=90° 时， 则 DQ⊥AD. ∵A （ -1 ， 0 ）， D （ 2 ， 3 ）， ∴ 直线 AD 的解析式为 y=x+1. ∴ 可设直线 DQ 的解析式为 y=-x+b′. 把 D （ 2 ， 3 ） 代入可求得 b′=5 ， ∴ 直线 DQ 的解析式为 y=-x+5. E M B x OA N P H CD y 第 6 题答图 196 参 考 答 案 联立直线 DQ 和抛物线解析式可得 y=-x+5 ， y=-x 2 +2x+3 ! ， 解得 x=1 ， y= ! 4 或 x=2 ， y=3 ! ， ∴Q （ 1 ， 4 ）； ii． 当 ∠AQD=90° 时， 设 Q （ t ， -t 2 +2t+3 ）， 设直线 AQ 的解析式为 y=k 1 x+b 1 ， 把点 A 、 点 Q 坐标代入可得 -k 1 +b 1 =0 ， tk 1 +b 1 =-t 2 +2t+3 ! ， 解得 k 1 =- （ t-3 ） . 设直线 DQ 的解析式为 y=k 2 x+b 2 ， 同理可求得 k