专题3.2 几何探索题-九年级下册初三数学【新课程同步训练】人教版

九年级下册 （人教版） 数学 （二） 几何探索题 1. 解： （ 1 ） 由折叠的性质得， 四边形 CDEF 是矩形， ∴EF=CD ， ∠DEF=90° ， DE=AE= 1 2 AD ， ∵ 将正方形纸片 ABCD 沿直线 DM 折叠， 使点 C 落在 EF 上的点 N 处， ∴DN=CD=2DE ， MN=CM. ∴∠EDN=60°. ∴∠CDM=∠NDM=15° ， EN= 3 姨 2 DN=2 3 姨 . ∴∠CMD=75° ， NF=EF-EN=4-2 3 姨 . 故答案为 75° ， 4-2 3 姨 . （ 2 ） △AND 是等边三角形， 理由如下： 在 △AEN 和 △DEN 中， AE=DE ， ∠AEN=∠DEN=90° ， EN=EN N & & & % & & & ' ， ∴△AEN≌△DEN （ SAS ） . ∴AN=DN. 由折叠知 DN=CD=AD ， ∴AN=DN=AD. ∴△AND 是等边三角形 . （ 3 ） ∵ 将图 2 中的 △AND 沿直线 GH 折叠， 使点 A 落在点 A′ 处， ∴A′G=AG ， A′H=AH. ∴ 图 3 中阴影部分的周长 =△ADN 的周长 =3×4=12. 故答案为 12. （ 4 ） ∵ 将图 2 中的 △AND 沿直线 GH 折叠， 使点 A 落在点 A′ 处， ∴∠AGH=∠A′GH ， ∠AHG=∠A′HG. ∵∠A′GH=80° ， ∴∠AGH=50°. ∴∠AHG=∠A′HG=70°. ∴∠A′HD=180°-70°-70°=40°. 故答案为 40. （ 5 ） 如图 3 ， ∵∠A=∠N=∠D=∠A′=60° ， ∠NMG=∠A′MP ， ∠A′MP=∠DPH ， ∴△NGM∽△A′PM∽△DPH. ∵△AGH≌△A′GH ， ∴ 图 ③ 中的相似三角形 （包括全等三角形） 共有 4 对， 故答案为 4. （ 6 ） ∵ A′N A′D = m n ， ∴ 设 A′N=am ， A′D=an. ∵∠N=∠D=∠A=∠A′=60° ， ∴∠NA′G+∠A′GN=∠NA′G+∠DA′H=120°. ∴∠A′GH=∠DA′H. ∴△A′GH∽△HA′D. ∴ A′G A′H = A′N DH = GN A′D . 设 A′G=AG=x ， A′H=AH=y ， 则 GN=4-x ， DH=4-y ， ∴ x y = am 4-y = 4-x an ， 解得 x= am+4 4+an y. ∴ AG AH = am+4 4+an = am+am+an am+an+an = 2m+n m+2n . 故答案为 2m+n m+2n ． 2. （ 1 ） 解： 四边形 ABCD 是垂美四边形 ． 证明： ∵AB＝AD ， ∴ 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， ∵CB＝CD ， ∴ 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， ∴ 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， ∴AC⊥BD ， 即四边形 ABCD 是垂美四边形 . （ 2 ） 证明： ∵AC⊥BD ， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90° ， 由勾股定理得， AD 2 +BC 2 ＝AO 2 +DO 2 +BO 2 +CO 2 ， AB 2 +CD 2 ＝AO 2 +BO 2 +CO 2 +DO 2 ， H N D A′ G A M P 第 1 题答图 218 参 考 答 案 ∴AD 2 +BC 2 ＝AB 2 +CD 2 ． （ 3 ） 如图 3 ， 设 CE 分别与 AB ， BG 相交于点 M ， N ， 连接 CG ， BE. ∵∠CAG＝ ∠BAE＝90° ， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC ， 即 ∠GAB＝∠CAE ， 在 △GAB 和 △CAE 中， AG=AC ， ∠GAB=∠CAE ， AB=AE E % % % $ % % % & ， ∴△GAB≌△CAE ， ∴∠ABG＝∠AEC ， 又 ∠AEC+∠AME＝90° ， ∴∠ABG+∠AME＝90° ， ∴∠ABG+∠BMN=90° ， 即 CE⊥BG ， ∴ 四边形 CGEB 是垂美四边形， 由 （ 2 ） 得， CG 2 +BE 2 ＝CB 2 +GE 2 ， ∵AC＝4 ， AB＝5 ， ∴BC＝3 ， CG＝4 2 姨 ， BE＝5 2 姨 ， ∴GE 2 ＝CG 2 +BE 2 -CB 2 ＝73 ， ∴GE＝ 73 姨 ． 3. 性质探究解： 作 CD⊥AB 于 D ， 如图 1 所示： 则 ∠ADC＝∠BDC＝90° ， ∵AC＝BC ， ∠ACB＝120° ， ∴AD＝BD ， ∠A＝∠B＝30° ， ∴AC＝2CD ， AD＝ 3 姨 CD ， ∴AB＝2AD＝2 3 姨 C