专题3.3 几何图形由特殊到一般的探索题-九年级下册初三数学【新课程同步训练】人教版

九年级下册 （人教版） 数学 ∴BF＝ 1 2 DF ， ∴BF＝ 1 3 BD ， ∵BO＝ 1 2 BD ， ∴OF＝OB-BF＝ 1 2 BD- 1 3 BD＝ 1 6 BD. ∵ 在正方形 ABCD 中， AB＝6 ， ∴BD＝6 2 姨 ， ∴OF＝ 2 姨 ． 故答案为 2 姨 . （ 2 ） 解： 如图， 连接 OE． 由 （ 1 ） 知， BF＝ 1 3 BD ， OF＝ 1 6 BD ， ∴ BF OF ＝2． ∵△BEF 与 △OEF 的高相同， ∴△BEF 与 △OEF 的面积比 ＝ BF OF ＝2 ， 同理， △CEG 与 △OEG 的面积比 ＝2 ， ∴△CEG 的面积 +△BEF 的面积 ＝2 （ △OEG 的面积 +△OEF 的面积） ＝2× 1 2 ＝1 ， ∴△BOC 的面积 ＝ 3 2 ， ∴荀ABCD 的面积 ＝4× 3 2 ＝6． 故答案为 6． 5. 解： （ 1 ） 如图 1 中， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC＝90°. ∵tan∠DAC＝ DC AD ＝ 5 5 3 姨 ＝ 3 姨 3 ， ∴∠CAD＝30°． （ 2 ） ① 如图 1 ， 当 AN＝NM 时， ∵∠BAN＝∠BMN＝90° ， BN＝BN ， AN＝NM ， ∴Rt△BNA≌Rt△BNM （ HL ）， ∴BA＝BM. 在 Rt△ABC 中， ∵∠ACB＝∠DAC＝30° ， AB＝CD＝5 ， ∴AC＝2AB＝10. ∵∠BAM＝60° ， BA＝BM ， ∴△ABM 是等边三角形， ∴AM＝AB＝5 ， ∴CM＝AC-AM＝5． 如图 2 ， 当 AN＝AM 时， 易证 ∠AMN＝∠ANM＝15° ， ∵∠BMN＝90° ， ∴∠CMB＝75° ， ∵∠MCB＝30° ， ∴∠CBM＝180°-75°-30°＝75°. ∴∠CMB＝∠CBM ， ∴CM＝CB＝5 3 姨 ， 综上所述， 满足条件的 CM 的值为 5 或 5 3 姨 ． ② 结论： ∠MBN 的大小不变 ． 理由： 如图 1 （ 1 ）， ∵∠BAN+∠BMN＝180° ， ∴A ， B ， M ， N 四点共圆， ∴∠MBN＝∠MAN＝30°． 如图 2 中， ∵∠BMN＝∠BAN＝90° ， ∴A ， N ， B ， M 四点共圆， ∴∠MBN+∠MAN＝180° ， ∵∠DAC+∠MAN＝180° ， ∴∠MBN＝∠DAC＝30° ， 综上所述， ∠MBN＝30°． （ 3 ） 如图 3 中， ∵AM＝MC ， ∴BM＝AM＝CM ， ∴AC＝2AB ， ∴AB＝BM＝AM ， ∴△ABM 是等边三角形， ∴∠BAM＝∠BMA＝60°. ∵∠BAN＝∠BMN＝90° ， ∴∠NAM＝∠NMA＝30° ， ∴NA＝NM. ∵BA＝BM ， ∴BN 垂直平分线段 AM ， ∴FM＝ 5 2 ， ∴NM＝ FM cos30° ＝ 5 3 姨 3 . ∵∠NFM＝90° ， NH＝HM ， ∴FH＝ 1 2 MN＝ 5 3 姨 6 ． （三） 几何图形由特殊到一般的探索题 1. 解： （ 1 ） ① 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝DA ， ∠ABE＝90°＝∠DAQ． ∴∠QAO+∠OAD＝90°． ∵AE⊥DQ ， ∴∠ADO+∠OAD＝90°． ∴∠QAO＝∠ADO． ∴△ABE≌△DAQ ， ∴AE＝DQ． ② 解： ∵DQ⊥AE ， FG⊥AE ， ∴DQ∥FG. ∵FQ∥DG ， ∴ 四边形 DQFG 是平行四边形， ∴FG＝DQ. A D CB E F O 图 2 A D CB O G E F 图 3 第 4 题答图 E A N D C B M H F E AN D C B M E A N D C B M 图 1 图 2 图 3 第 5 题答图 220 参 考 答 案 ∵AE＝DQ ， ∴FG＝AE ， ∴ GF AE ＝1． 故答案为 1． （ 2 ） 解： FG AE ＝k． 理由： 如图 2 （ 1 ） 中， 作 GM⊥AB 于 M． ∵AE⊥GF ， ∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90° ， ∴∠BAE+∠AFO＝90° ， ∠AFO+∠MGF＝90° ， ∴∠BAE＝∠MGF ， ∴△ABE∽△GMF ， ∴ GF AE ＝ GM AB ， ∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90° ， ∴ 四边形 AMGD 是矩形， ∴GM＝AD ， ∴ GF AE ＝ AD AB ＝ BC AB ＝k． （ 3 ） 解： 如图 2 （ 2 ） 中， 作 PM⊥BC 交 BC 的延长线于 M． ∵FB∥GC ， FE∥GP ， ∴∠BFE+∠EFG+∠CGF=2180° ， ∠EFG+∠CGF+∠CGP=