第10讲 平行线的性质及尺规作角(提高)-2020-2021学年七年级数学下册同步精练本+双测AB卷（北师大版）

平行线的性质及尺规作图（提高）知识讲解 【要点梳理】 要点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等. 性质2：两直线平行，内错角相等. 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释： （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 要点二、两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 要点诠释： （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 要点三、尺规作图 1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 要点诠释： （1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 2.八种基本作图（有些今后学到）： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． （6）已知一角、一边做等腰三角形． （7）已知两角、一边做三角形． （8）已知一角、两边做三角形． 【典型例题】 类型一、平行线的性质 1.如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°． （1）求∠DOF的度数； （2）试说明OD平分∠AOG． 【思路点拨】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解； （2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解． 【答案与解析】 解：（1）∵AE∥OF， ∴∠FOB=∠A=30°， ∵OF平分∠BOC， ∴∠COF=∠FOB=30°， ∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°； （2）∵OF⊥OG， ∴∠FOG=90°， ∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°， ∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°， ∴∠AOD=∠DOG， ∴OD平分∠AOG． 【总结升华】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键． 举一反三： 【变式】如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2=　 　． 【答案】32° 类型二、两平行线间的距离 2.下面两条平行线之间的三个图形，图 ③的面积最大，图 ②的面积最小． 【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小. 【答案】图3，图2 【解析】 解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2＝4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2＝4.5；5＞4.5＞4； 所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小. 【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案. 举一反三： 【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米. 【答案】35 类型三、尺规作图 3. 如图所示，已知∠ 和∠ ，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠ -∠ ）． 【答案与解析】 作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠ ； （2）以射线OD为一边，在∠COD�的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠ ； （3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠ ； （4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠ ，则∠AOB就是所求作的角． 【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角． 4. 如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路