专题18 圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题18 圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、【2018年高考浙江卷】双曲线 的焦点坐标是 A．(− ，0)，( ，0) B．(−2，0)，(2，0) C．(0，− )，(0， ) D．(0，−2)，(0，2) 【答案】B 【解析】设 的焦点坐标为 ，因为 ， ， 所以焦点坐标为 ，故选B． 2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，故选A． 3、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆 与双曲线 的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由双曲线 ，可得其一条渐近线的方程为 ，即 ， 又由圆 ，可得圆心为 ，半径 ， 则圆心到直线的距离为 ，则 ，可得 ， 故选C. 4、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知 是双曲线 的左、右焦点，若点 关于双曲线渐近线的对称点 满足 （ 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： 由对称性可得： 为 的中点，且 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 故而由几何性质可得 ，即 ， 故渐近线方程为 ， 故选B. 5、【2020年高考北京】已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ； 【解析】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为 ， 双曲线 的渐近线方程为 ，即 ， 所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 . 故答案为： ； . 6、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 【答案】 【解析】由已知得 ，解得 或 ， 因为 ，所以 . 因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 . 【问题探究，变式训练】 题型一、双曲线与抛物线的性质 例1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________． 【答案】2 【解析】如图， 由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由 ，得 ∴ ， ， 又OA与OB都是渐近线，∴ 又 ，∴ 又渐近线OB的斜率为 ，∴该双曲线的离心率为 ． 变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，点 的坐标为 ，点 为双曲线左支上的动点，且 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】如下图所示： 设该双曲线的左焦点为点 ，由双曲线的定义可得 ， 所以， 的周长为 ， 当且仅当 、 、 三点共线时， 的周长取得最小值，即 ，解得 . 因此，该双曲线的离心率为 . 故选：D. 变式2、（2020届山东省德州市高三上期末）（多选题）已知抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的焦点为 ，直线的斜率为 且经过点 ，直线 与抛物线 交于点 、 两点（点 在第一象限），与抛物线的准线交于点 ，若 ，则以下结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】如下图所示： 分别过点 、 作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为点 、 . 抛物线 的准线 交 轴于点 ，则 ，由于直线 的斜率为 ，其倾斜角为 ， 轴， ，由抛物线的定义可知， ，则 为等边三角形， ，则 ， ，得 ， A选项正确； ，又 ， 为 的中点，则 ，B选项正确； ， ， （抛物线定义），C选项正确； ， ，D选项错误. 故选：ABC. 变式3、（2020届山东省滨州市高三上期末）（多选题）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，则能使双曲线C的方程为 的是( ) A．离心率为 B．双曲线过点 C．渐近线方程为 D．实轴长为4 【答案】ABC 【解析】由题意，可得：焦点在 轴上，且 ； A选项，若离心率为 ，则 ，所以 ，此时双曲线的方程为： ，故A正确； B选项，若双曲线过点 ，则 ，解得： ；此时双曲线的方程为： ，故B正确； C选项，若双曲线的渐近线方程为 ，可设双曲线的方程为： ， 所以 ，解得： ，所以此时双曲线的方程为： ，故C正确； D选项，若实轴长为4，则 ，所以 ，此时双曲线的方程为： ，故D错误； 故选：ABC. 题型二、直线与双曲线及抛物线的关系 例2、【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________． 【答案】 【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点