第13讲 二次函数及其应用-2021年中考数学优选知识点题型（一领三通）

第13讲 二次函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点1 二次函数的图像及性质】 1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系，可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)，那么称y是x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 2．三种表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 顶点式一般式两点式 4.图像性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) a＞0时开口向上， 对称轴：直线x＝－，顶点坐标：，增减性：在对称轴的左侧，即x＜－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而增大，简记为“左减右增” a＜0时开口向下，对称轴：直线x＝－，顶点坐标：，增减性：在对称轴的左侧，即当x＜－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而减小，简记为“左增右减” 5.二次函数与一元二次方程的关系： 1．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根． 2．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根． 3．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根． 【考点2 二次函数的实际应用】 1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用． 2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景． 3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案． 【考点3 二次函数的图像与几何图形的关系】 1. 平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 平移步骤： (1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标； (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可． 2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据． 【考点4 二次函数的图像其它函数的关系】 二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。 2、 考点分析 【考点1 二次函数的图像及性质】 【解题技巧】一、二次函数表达式的确定： (1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式； ①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式； ③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)． (2)步骤： ①设二次函数的表达式； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组； ③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式． 二、求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【例1】（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　） A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2 C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2 【答案】C． 【分析】根