第12讲 反比例函数及其应用-2021年中考数学优选知识点题型（一领三通）

第12讲 反比例函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点1 反比例函数的图像及性质】 1.反比例函数的概念：1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成y＝(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2.函数图像的性质：对于反比例函数y＝(k≠0)，k＞0时，反比例函数图像经过第一、三象限(x，y同号)，在每个象限内，y随x的增大而减小，关于直线y＝－x对称；k＜0时，反比例函数图像经过第二、四象限(x，y异号)，在每个象限内，y随x的增大而增大关于直线y＝x对称。 【考点2 反比例函数的实际应用】 1.反比例函数表达式的确定的步骤： (1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)； (2)根据已知条件列出含k的方程； (3)由代入法求待定系数k的值； (4)把k代入函数表达式y＝中． 2.求表达式的两种途径： (1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出； (2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的表达式． 3.反比例函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据． 4.反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。 2、 考点分析 【考点1 反比例函数的图像及性质】 【解题技巧】1.对于反比例函数y＝(k是常数，且k≠0)k的几何意义： 设P(x，y)是反比例函数y＝图像上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|. 2.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 【例1】（2020•海南）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（　　） A．（﹣1，8） B．（﹣2，4） C．（1，7） D．（2，4） 【一领三通1-1】（2020•河南）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【一领三通1-2】（2020•黔东南州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【一领三通1-3】（2020•山西）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【一领三通1-4】（2020•武汉）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1 【考点2 反比例函数的实际应用】 【解题技巧】1.利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式． 2.反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面： ①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法； ②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标； ③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法； ④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小． 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中