专题09 导数与函数的极值（分层训练）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版）

专题09 导数与函数的极值 A组 基础巩固 1．函数在处取得极值，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，函数在处取得极值，则，可得．故选B． 2．函数的极值点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】A 【解析】，由可得，该方程无解，因此函数无极值点．故选A． 3．如图是的导函数的图象，现有四种说法： ①在上是增函数； ②是的极小值点； ③在上是减函数，在上是增函数； ④是的极小值点． 以上说法正确的序号为（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．④ 【答案】B 【解析】因为导函数在上有正有负，所以在上是增函数是错误的；当时，，当时，，所以是的极小值点；当时，，时，，所以在上是减函数，在上是增函数；是的极大值点．故选B． 4．函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若函数是上的单调函数，只需恒成立， 即，．故选C． 5．设，若函数有大于零的极值点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，由题意知，有大于0的实根，可得，因为，所以，所以，故选A． 6．设，若函数有大于的极值点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的导数为，函数有大于的极值点，即有大于的实根，所以函数与函数的图象在y轴右侧有交点，所以，故选C． 7．函数的极小值为________________． 【答案】 【解析】，令，得，当或时，，当时，，所以当时，函数取极小值，且极小值是． 8．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为函数有两个极值，所以有两个不等的实数根，所以， 即，解得或．故实数的取值范围是． 9．（1）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． （2）的单调递增区间为________． 【答案】（1）D；（2）， 【解析】（1）因为，在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间， （2）由题意知，当时，；当时，，二次函数的图象如图． 由图象可知，函数在，上是增函数． 即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为． 10．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1）；（2），． 【解析】（1）由题意可得，故． 又，故曲线在点处的切线方程为，即． （2）由可得或， ，随的变化情况如下表所示， ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ，． 11．已知函数（为实数），． （1）讨论函数的单调区间； （2）求函数的极值． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）极大值为，无极小值． 【解析】（1）由题意得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由可得，由可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减． （2）函数的定义域为，， 由可得；由，可得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极大值，为，无极小值． 12．已知函数在处有极值． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并求出单调区间． 【答案】（1）；（2）的递减区间是，递增区间是． B组 能力提升 13．已知函数存在极小值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为存在极小值，所以方程有两个不等的正根，设为，．故，所以的取值范围为，故选A． 14．设函数满足，，则当时函数（ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】D 【解析】由题意得，令， 则， 因此当时，；当时，， 故， 因此当时，恒成立，所以当时函数既无极大值也无极小值，故选D． 15．已知函数，当时，函数的极值为，则 ________________． 【答案】 【解析】，，，或，当时，，此时函数没有极值，，又，，，． 16．若函数在区间内有极大值，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【解析】由可得，因为函数在区间内有极值，且，所以方程在在区间内有解，即方程在区间内有解，解得或(舍去)．构造函数和，由数形结合可得为函数的极大值点，故，即，则实数的取值范围是． 17．已知函数． （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求函数的极值； （2）设，若在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）． 【解析】（1）由可得， 由题意知，解得， 所以，． 当时，或；当时，． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的极大值为， 极小值为． （2）由可得， 由在上单调递减可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则