专题10 导数与函数的最值（分层训练）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版）

专题10 导数与函数的最值 A组 基础巩固 1．下列说法正确的是（ ） A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值 C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值 D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 【答案】D 【解析】由极值与最值的概念可知应选D． 2．定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是（ ） A．函数f(x)有最小值f(x0) B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0) C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0) D．函数f(x)不一定有最小值 【答案】A 【解析】函数f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最大值和最小值， 又f(x)有唯一的极小值f(x0)，则f(x0)一定是最小值．故选A． 3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)（ ） A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 【答案】D 【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1，1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1，1)上是递减的， ∴函数f(x)在区间(－1，1)上既无最大值，也无最小值．故选D． 4．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值，最小值分别是（ ） A．12，－8 B．1，－8 C．12，－15 D．5，－16 【答案】A 【解析】y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－2时，y＝1；当x＝－1时，y＝12；当x＝1时，y＝－8．∴ymax＝12，ymin＝－8．故选A． 5．已知为函数的极小值点，则=（ ） A．-2 B． C．2 D．- 【答案】B 【解析】f′（x）＝3x2﹣6，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣， 令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜， 故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增， 故是极小值点，故a＝，故选B。 6．已知（m为常数）在区间上有最大值3，那么此函数在上的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得或，当时，，当时，，所以最大值在处取得，即，又，所以最小值为．故选D． 7．若函数，则（ ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，无最小值 C．最小值为，无最大值 D．既无最大值也无最小值 【答案】D 【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，故选D． 8．函数在上的最小值是________________． 【答案】 【解析】，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而函数在上的最小值是． 9．函数的最大值为________________． 【答案】 【解析】，当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，． 10．函数在[0，1]上的最大值为________________． 【答案】 11．函数在上的最小值为________________． 【答案】 【解析】， 令，得或或．列表如下： 0 (0，1) 1 (1，2) 2 0 + 0 0 + 增 减 增 3 由表可知，函数的最小值为． 12．已知函数，．若的图象在处与直线相切． （1）求的值； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）（2）最大值为． 【解析】（1）由题可得． 由函数的图象在处与直线相切，可得， 即，解得． 13．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当有最大值，且最大值大于时，求实数a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）的定义域为，， 若，则，所以在上单调递增． 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当时，在上无最大值； 当时，在处取得最大值，最大值为． 因此，． 令，则在上是增函数，， 于是，当时，；当时，，因此实数a的取值范围是． 14．函数 （1）若函数在内没有极值点，求实数的取值范围； （2）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意知，， 当时，恒成立，在定义域上没有极值，符合题意； 当时，因为，所以，解得或． 综上，实数的取值范围为． B组 能力提升 15．已知函数，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是（ ） A．20 B．1