专题07 复合函数的求导法则（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版）

专题07 复合函数的求导法则 【重难点知识点网络】： 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 如果函数在点x处可导，函数f (u)在点u=处可导，则复合函数y= f (u)=f []在点x处也可导，并且 (f [])ˊ= 或记作 =• 熟记链式法则 若y= f (u)，u= y= f []，则= 若y= f (u)，u=，v= y= f []， = 3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式 ①，（C是常数） ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩（ （2）法则：， 【重难点题型突破】： 一、简单的复合函数求导问题 例1、求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝esin x；(3)；(4) ． 【解析】(1)设，u＝1－2x2，则y′＝()′(1－2x2)′＝·(－4x) ＝(－4x)＝ . (2)设y＝eu，u＝sin x，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos x＝esin xcos x. (3)设y＝sin u，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos（2x+）. (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝. 【变式训练1-1】、 求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x. 【解析】(1)令u＝2x－1，则y＝u4，∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3. (2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x＋3. (3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos 4x) ＝＋cos 4x.所以y′＝′＝－sin 4x. 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2、求下列函数的导数： (1)y＝x； (2). 【解析】　(1)y′＝(x)′＝x′＋x()′＝ ＋＝. (2)∵y＝xcossin＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x×4＝－sin 4x－2xcos 4x. 【变式训练2-1】、求下列函数的导数： (1)y＝sin2； (2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝xln(1＋2x)． 【解析】(1)y′＝′＝2sin ·′＝2sin ·cos ·′＝sin . (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (3)y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′＝ln(1＋2x)＋ . 三、复合函数导数的综合问题 例3、设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值． 【解析】由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0. 【变式训练3-1】、有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－.求函数在t＝时的导数，并解释它的实际意义． 【解析】函数y＝5－可以看作函数f(x)＝5－和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得f′(x)＝，φ′(t)＝－18t. 再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝·(－18t)＝， 将t＝代入s′(t)，得s′＝0.875.当t＝时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 【变式训练3-2】、函数y＝x·e1－2x的导数为________． 【解析】　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x.[答案]　y′＝(1－2x)e1－2x 【变式训练3-3】、函数y＝ln在x＝0