专题08 导数与函数的单调性（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版）

专题08 导数与函数的单调性 【重难点知识点网络】： 1．函数的单调性与其导数的关系 在某个区间内，如果___________，那么函数在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2．函数图象与之间的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些． 【重难点题型突破】： 一、利用导数判断函数的单调性 （1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下： ①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论． （2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点． （3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接． 例1 求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）函数的定义域为．． 令，解得；令，解得． 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式训练1-1】、（2017新课标全国Ⅱ）函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为．故选D． 【变式训练1-2】、（2017新课标全国Ⅰ）已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】由题意知，，所以的图像关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 【变式训练1-3】、（2017新课标全国Ⅱ节选）设函数，讨论的单调性． 【答案】在和上单调递减，在上单调递增． 【分析】先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间即可． 【变式训练1-4】、（2017新课标全国Ⅲ）已知函数，讨论的单调性 【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在 上单调递减． 【分析】先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】函数的定义域为，故. 若，则当时，，故在上单调递增. 若，则当时，；当时，. 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 二、函数与导函数图象之间的关系 判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 例2 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是 【答案】D 【解析】当时，在上的函数值非负在上，故函数在上单调递增；当时，在上的函数值非负在上，故在上单调递减，观察各选项可知选D． 【变式训练2-1】、（2017浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D． 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间． 【变式训练2-2】、（2018新课标全国Ⅲ）函数的图象大致为 A B C D 【答案】D 【名师点睛】本题考查函数的图象，考查了特殊值排除法，导数与函数图象的关系，属于中档题． 【变式训练2-3】、（2018新课标全国Ⅱ理）函数的图象大致为 A B C D 【答案】B 【解析】因为，排除选项D；因为，，所以为奇函数，排除选项A；因为，所以当时，，排除选项C，故选B． 三、导数在解决单调性问题中的应用 （1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题． （2）利用导数解决