专题09 导数与函数的极值（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版）

专题09 导数与函数的极值 【重难点知识点网络】： 1．函数极值的概念 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是________． 充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号． 3．函数极值的求法 一般地，求函数的极值的方法是： 解方程．当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是________； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是_________． 【重难点题型突破】： 一、求函数的极值 （1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． （2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）． 例1．已知函数（为实数），． （1）讨论函数的单调区间； （2）求函数的极值． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）极大值为，无极小值． 【解析】（1）由题意得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由可得，由可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减． （2）函数的定义域为，， 由可得；由，可得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极大值，为，无极小值． 【变式训练1-1】、（2017新课标全国II理）若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由题可得， 因为，所以，，故， 令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，故选A． 【变式训练1-2】、已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）当时，，． 设函数，则． 当时，；当时，． 故当时，，且仅当时，， 从而，且仅当时，，所以在单调递增． 又，故当时，；当时，． （2）若，由（1）知，当时，， 这与是的极大值点矛盾． 若，设函数． 由于当时，，故与符号相同． 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点． ． 如果，则当，且时，， 二、函数极值的应用 解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件． 例2．（2018北京理）设函数=[]． （1）若曲线y=f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a； （2）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 【答案】（1）a的值为1；（2）a的取值范围是（，+∞）． 【分析】（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围． 【变式训练2-1】、（2018新课标全国Ⅰ）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【答案】（1）；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）证明见解析． 【解析】（1）f（x）的定义域为，f′（x）=aex–． 由题设知，f′（2）=0，所以．从而，． 当0<x<2时， <0；当x>2时，>0． 所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． 【变式训练2-2】、已知函数， ① 当时，有最大值； ② 对于任意的，函数是上的增函数； ③ 对于任意的，函数一定存在最小值； ④ 对于任意的，都有． 其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【解析】由函数的解析式可得：，当时，，，单调递增，且， 据此可知当时，，单调递增，函数没有最大值，说法①错误； 当时，函数，均为单调递增函数，则函数是上的增函数，说法②正确； 当时，单调递增，且， 且当，据此可知存在， 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递增； 函数在处取得最小值，说法③正确； 当时，， 由于，故，，说法④错误； 综上可得：正确结论的序号是②③． 【变式训练2-3】、已知函数 （1）讨论函数在上的单调性； （2）证明：恒成立． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增， 在上单调递减；（2）见解析． 【解