专题10 导数与函数的最值（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版）

专题10 导数与函数的最值 【重难点知识点网络】： 1．函数的最值与导数 一般地，如果在区间上函数的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值． 2．求函数最值的步骤 求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的________； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【重难点题型突破】： 一、求函数的最值 求函数最值的步骤是： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键． 需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论． 例1．（2017北京）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为． 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值． 【解析】（1）因为，所以． 又，所以曲线在点处的切线方程为． （2）设，则． 当时，，所以在区间上单调递减． 所以对任意有，即， 所以函数在区间上单调递减． 因此在区间上的最大值为，最小值为． 【变式训练1-1】、（云南省玉溪市第一中学2019届第二次调研）函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得，，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得，故选C。 【变式训练1-2】、（江西省九江市2018-2019学年期末）函数有( ) A．最大值为1 B．最小值为1 C．最大值为 D．最小值为 【答案】A 【解析】解:，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，有最大值为，故选A。 【变式训练1-3】、若函数在内有且只有一个零点，则在 上的最大值与最小值的和为________________． 【答案】–3 【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 二、函数最值的应用 由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值． 例2、（2017新课标全国Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）分，，分别讨论函数的单调性；（2）分，，分别解，从而确定a的取值范围． （2）①若，则，所以． ②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为． 从而当且仅当，即时，． ③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为． 从而当且仅当，即时． 综上，的取值范围为． 【变式训练2-1】、（2017新课标全国Ⅱ理）已知函数，且． （1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立． （2）由（1）知 ，． 设，则． 当 时， ；当 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1， 且当时，；当时，，当时，． 因为，所以是的唯一极大值点． 由得，故． 由可得，因为是在（0，1）的最大值点， 由，得，所以． 三、恒成立问题 利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立． 例3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立．令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以． 故实数的取值范围是．故选C． 例4.已知函数． （1）求的极小值； （2）对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值为；（2）． 【解析】（1），令，得． 当变化时，与的变化情况如下表： 则的极小值为． 则，故实数的取值范围是． 例5．（2018新课标全国Ⅱ理）已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式；（2）研究