第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-2021高考数学【创新教程】艺考生高考总复习课时冲关（新高考）

第二章　第3节 1．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是(　　 ) A．y＝－x3　　　　　　　 B．y＝2|x| C．y＝x－2 D．y＝log3(－x) 解析：B　[选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2－x＝是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]x是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x＜0时，y＝x－2＝ 2．(2019·赣州市一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是(　　 ) A．(3，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3) 解析：D　[由偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，得f(x)＝f(|x|)， 因为f(x－1)＞0，则f(|x－1|)＞f(2)， 即|x－1|＜2，解得－1＜x＜3，即x的取值范围是 (－1,3)．故选D.] 3．(多选题)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，－1) 答案：CD 4．已知函数f(x)＝是奇函数，则f(a)的值等于(　　 ) A．－ B．3 C．－或3或3 D. 解析：C　[∵ f(x)是奇函数，∴f(－x)＝ ＝－， 整理，得2a2－2＝0，∴a＝±1. 当a＝1时，f(a)＝f(1)＝；＝－ 当a＝－1时，f(a)＝f(－1)＝＝3.故选C.] 5．(多选题)(2020·山东济宁一模)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，下列说法正确的是(　　) A．f(2 019)＋f(－2 020)＝0 B．函数f(x)在定义域上是周期为2的函数 C．直线y＝x与函数f(x)的图像有2个交点 D．函数f(x)的值域为(－1,1) 解析：AD　[本题考查函数的性质．根据题意，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，又由f(x)为奇函数，则f(x)的图像如图．对于A选项，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即有f(x＋2)＝f(x)．又由当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(0)＝log21＝0，f(1)＝－f(0)＝0，所以f(2 019)＝f(1)＝0，f(2 020)＝f(0)＝0.又由f(x)为奇函数，则f(－2 020)＝－f(2 020)＝0，故f(2 019)＋f(－2 020)＝0，故A正确．对于B选项，取x＝－0.1，则x＋2＝1.9，f(－0.1)＝－f(0.1)，f(1.9)＝－f(0.9)．因为f(0.1)≠f(0.9)，所以f(－0.1)≠f(1.9)，故B错误．对于C选项，直线y＝x与函数f(x)的图象有一个交点，即(0,0)，故C错误．对于D选项，函数f(x)的值域为(－1,1)，故D正确．故选项AD.] 6．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________． 解析：在f(x)－g(x)＝，故f(1)>g(0)>g(－1)． ，g(0)＝－1，g(－1)＝－，于是f(1)＝－，g(x)＝－x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝ 答案：f(1)>g(0)>g(－1) 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意x∈[m－3，m]，不等式f(2x＋m)－16f(x)≤0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得，函数f(x)在R上单调递增，所以f(2x＋m)≤16f(x)＝f(4x)，所以2x＋m≤4x，x≥≤m－3，解得m≥6，即实数m的取值范围是[6，＋∞)． 恒成立，所以 答案：[6，＋∞) 8．(双空题)若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝________，若f(x)为奇函数，则k＝________. 解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即，解得k＝－1)．＋2＝－2k－，解得k＝1.f(x)为奇函数时，f(0)＝0，即k＋1＝