第二章 第6节 二次函数与幂函数-2021高考数学【创新教程】艺考生高考总复习课时冲关（新高考）

第二章　第6节 1．(多选题)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　 ) A．定义域内的减函数 　 B．奇函数 C．偶函数 D．(0，＋∞)上的减函数 答案：BD 2．已知a＝3－，c＝ln 3，则(　　 ) ，b＝2－ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：D　[∵a＝3－在(0，＋∞)上单调递减． ，又y＝x－＝4－，b＝2－ ∴b＜a＜1，又c＝ln 3＞1，则b＜a＜c，故选D.] 3．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　) A．0　　　 B．1　　　　C．2　　　　D．3 解析：C　[∵y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点， ∴m2－4m<0，即0<m<4， 又m∈Z，∴m＝1或2或3. 又∵函数的图象关于y轴对称， ∴m2－4m为偶数，因此m＝2.] 4．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 解析：D　[当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，满足题意；当a>0时，函数f(x)在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－≤－1，得－3≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是[－3,0]．]，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－ 5．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点个数有(　　 ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 解析：C　[因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，y＝x的图象：由图可得，两个函数图象的交点个数是1个．]x＝2，则在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝ 6．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于________． 解析：函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴或 解得a＝1. 答案：1 7．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝________. 解析：由题意知m2－2m－3为奇数且m2－2m－3＜0，由m2－2m－3＜0得－1＜m＜3，又m∈N*，故m＝1,2. 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m＝2时，m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3，∴m＝2. 答案：2 8．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则的最小值为________． ＋ 解析：由二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)， 可得判别式Δ＝4－4ac＝0， 即有ac＝1，且a＞0，c＞0， 所以＝2×3＝6，≥2＋ 当且仅当，a＝3，取得最小值6.，即有c＝＝ 答案：6 9．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3， 若m＝2，与f(x)是偶函数矛盾，舍去， 所以m＝3，所以f(x)＝x2. (2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3，g(x)的对称轴是x＝， 若g(x)在[1,3]上不是单调函数， 则1<<3，解得2<a<6. 10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间． (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围． 解：(1)由题意知 解得所以f(x)＝x2＋2x＋1， 由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]． (2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立， 令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， 由g(x)＝知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，即k的取值范围是(－∞，1)．2＋ 3 $$