第二章 第8节 函数与方程-2021高考数学【创新教程】艺考生高考总复习课时冲关（新高考）

第二章　第8节 1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(　　) 解析：C　[A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续；D中函数在x轴下方没有图象，故选C.] 2．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　　 B．2 　　　　C．1　　　　D．0 解析：B　[当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.] 3．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[因为f上，故选C.]－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以零点在区间＝e 4．(多选题)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　) A．y＝logx B．y＝2x－1 C．y＝x2－ D．y＝x3 答案：BD 5．(多选题)(2020·泸州市模拟)关于函数f(x)＝(e为自然对数的底数)的零点，下列说法中正确的是(　　) A．若k＝0，则f(x)没有零点 B．函数f(x)可能有三个零点 C．函数f(x)仅有一个零点的充要条件是k<－1 D．函数f(x)有两个零点的充要条件是k>e或－1≤k<0 解析：AD　[本题考查分段函数的零点问题．已知函数 f(x)＝ 若k＝0，则f(x)＝当x≤0时，f(x)∈(0,1]；当x>0时，f(x)<0，则f(x)没有零点，所以A正确． 若k<0，则当x≤0时，令f(x)＝ex＋k＝0，得k＝－ex，所以－1≤k<0，则f(x)在(－∞，0]上存在一个零点．当k<－1时，f(x)在(－∞，0]上没有零点．当x>0时，f′(x)＝－1<0，f(x)单调递减，当x→0＋时，f(x)>0，当x→＋∞时，f(x)<0，所以当k<0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．所以，当k<－1时，f(x)只有一个零点，当－1≤k<0时，f(x)有两个零点． 若k>0，则当x≤0时，f(x)＝ex＋k>0，无零点．当x>0时，f′(x)＝，当0<x<k时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>k时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(k)＝kln k－k＝k(ln k－1)． －1＝ 又当x→0＋时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0，] 6．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________． 解析：由题意知f[f(x)]＝－1，由f[f(x)]＝的x值，得函数y＝f[f(x)]＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝ 解f(x)＝－2得x＝－3或x＝； 解f(x)＝，或x＝得x＝－ 从而函数y＝f[f(x)]＋1的零点构成的集合为. 答案：. 7．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________. 解析：∵2<a<3<b<4，∴f(1)＝loga1＋1－b＝1－b<0，f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b， 又∵loga3>1，－1<3－b<0， ∴f(3)>0，即f(2)f(3)<0，故x0∈(2,3)，即n＝2. 答案：2 8．(双空填空题)设函数f(x)＝ ，则f(f(e))＝________，函数y＝f(x)－1的零点为________． 解析：因为f(x)＝， 所以f(e)＝ln e＝1， f(f(e))＝f(1)＝tan 0＝0， 若0<x≤1，f(x)＝1⇒tan＝1，方程无解； 若x>1，f(x)＝1⇒ln x＝1⇒x＝e. 答案：0　e 9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3， 令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. ∴函数f(x)的零点为3或－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根， ∴b2－4a(b－1)>0恒成立， 即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1， 因此实数a的取值范围是(0,1)． 10．设函数f(x)＝(x>0)． (1)作出函数f(x)的图象； (2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求的值； ＋ (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围． 解：(1)如图所示． (2)∵f(x)＝＝ 故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a<b且f(a)＝f(b)，得