第二章 第10节 导数的概念与计算-2021高考数学【创新教程】艺考生高考总复习课时冲关（新高考）

第二章　第10节 1．设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　 ) 解析：B　[由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，即导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f(x)递减，再递增，后递减，即导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．] 2．(2019·邵阳市质检)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(　　 ) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：D　[∵f′(x)＝f′(－2)ex－2x， ∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)，解得f′(－2)＝.] 3．设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为(　　) 解析：C　[根据题意得g(x)＝cos x，∴y＝x2g(x)＝x2cos x为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.] 4．(2020·长春市一模)若曲线y＝exsin x在点(0,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0互相垂直，则实数a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：B　[由题意得y′＝ex(sin x＋cos x)，y′|x＝0＝1.因为切线与直线x－ay＋1＝0互相垂直，所以＝－1，解得a＝－1.故选B.] 5．(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x 解析：AC　[本题考查导数的运算法则．若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求，故选AC.]，令tan x＝′＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝，令ln x＝ 6．(2020·全国新课标Ⅲ卷(文))设函数f(x)＝，则a＝________..若f′(1)＝ 解析：f′(x)＝，解得a＝1.＝，f′(1)＝ 答案：1 7．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 解析：曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有正实数解．又∵f′(x)＝5ax4＋， ∴方程5ax4＋＝0有正实数解．∴5ax5＝－1有正实数解． ∴a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 8．(双空填空题)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x＋，则x>0时，f(x)＝________________________________________________________________________； f(1)＋f′(1)＝________. 解析：本题考查导数的相关计算．∵函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x＋，∴f(1)＋f′(1)＝－e＋1－e－1＝－2e.，x>0时，f′(x)＝－ex－，∴f(x)＝－ex＋，∴令x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－ 答案：－ex＋　－2e 9．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程． 解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y＝－2. (2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)， 故其斜率可表示为，＝ 又－3，＝3x 即x－1)(x0－1)，－3x0＋2＝3(x 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线的斜率为k＝3×，＝－ ∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. 10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围． 解：(1)由题意得f′(x)