第二章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-2021高考数学【创新教程】艺考生高考总复习课时冲关（新高考）

第二章　第12节 1．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　 ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：D　[由于f(x)＝xex＋1，可得 f′(x)＝(x＋1)ex， 令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1， 令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数，令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．] 2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　) A.　　　　　　 B．1 C．0 D．不存在 解析：A　[f′(x)＝x－.]－ln 1＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝＝ 3．(多选题)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　) A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减 B．函数f(x)在x＝2处取得极大值 C．函数f(x)在x＝－4处取得极值 D．函数f(x)只有一个极值点 解析：BD　[本题考查利用导函数图象研究函数的性质．由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)的单调递减．所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误；当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D正确．故选BD.] 4．(多选题)(2020·宣城市一模)已知f′(x)是函数f(x)＝a,3a>2c>2b，则下列说法正确的是(　　) bx2＋cx的导函数，且f′(1)＝－ax3＋ A．f′(0)>0 B．曲线y＝f(x)在x＝－处的切线斜率最小 C．函数f(x)在(－∞，＋∞)上存在极大值和极小值 D．f′(x)在区间(0,2)上至少有一个零点 解析：BCD　[本题考查导数在函数中的应用．因为f(x)＝a<0，而f′(0)＝c，f′(2)＝4a＋2b＋c＝3a＋2b＋2c＋(a－c)＝a－c，所以f′(0)＋f′(2)＝a>0，则f′(0)，f′(2)中至少有一个数为正，而f′(1)<0，且f′(x)的图像是一条连续的曲线，所以若f′(0)>0，f′(1)<0，则f′(x)在(0,1)上至少有一个零点，若f′(2)>0，f′(1)<0，则f′(x)在(1,2)上至少有一个零点，所以f′(x)在区间(0,2)上至少有一个零点，故D正确．故选BCD.]a<0，所以f′(x)＝ax2＋bx＋c存在x1，x2两个零点，并且在(－∞，x1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，在(x1，x2)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在(x2，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，故C正确；D选项中，f′(1)＝－的值最小，故B正确；C选项中，函数f(x)在(－∞，＋∞)上是否存在极大值和极小值取决于f′(x)的正负，而f′(x)是开口向上的二次函数，因为f′(1)＝－a，即3a＋2b＋2c＝0.又因为3a>2c>2b，所以a>0，b<0.A选项中，f′(0)＝c，不能从条件判断出c>0，比如a＝2，b＝－2，c＝－1和a＝2，b＝－4，c＝1均符合题中函数，但是c可正可负，故A错误；B选项中，曲线y＝f(x)的切线斜率最小，即f′(x)的函数值最小，又由a>0知二次函数f′(x)开口向上，所以f′(x)在对称轴即x＝－bx2＋cx，所以f′(x)＝ax2＋bx＋c，f′(1)＝a＋b＋c＝－ax3＋ 5．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________． 解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b， ⇒ 所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2. 所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4. 答案：4 6．(双空填空题)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________． 解析：本题考查利用导数求函数的极值．由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x