第一章 第5节 基本不等式-2021高考数学【创新教程】艺考生高考总复习课时冲关（新高考）

第一章　第5节 1．(多选题)下列命题正确的是(　　 ) A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4 B．若a<0，则a＋≤－4 C．若a>0，b>0，则lg a＋lg b≥2 D．若a<0，b<0，则≥2＋ 答案：BD 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.　　　D.　　　C.　　B. 解析：B　[∵0<x<1，∴1－x>0. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3.2＝ 当x＝1－x，即x＝时取等号．] 3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，则m＋n的最小值是(　　) ，n＝a＋ A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　[由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5，故选C.]＋≥2，∴m＋n＝(a＋b)＋，n＝a＋ 4．(多选题)(2020·山东卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D.≤ ＋ 解析：ABD　[对于A选项， ，正确；⇒a2＋b2≥＝≥ 对于B选项，由a＋b＝1且a>0，b>0可得，a－b＝2a－1>－1，因此2a－b>，正确； 对于C选项，a＋b＝1≥2＝－2，错误；⇒log2ab≤log2⇒ab≤ 对于D选项，，正确．]≤＋⇒＝≤ 5．若圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0关于直线l：ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)对称，则的最小值为(　　 ) ＋ A．1 B．5 C．4 D．4 解析：D　[圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为(2,1)， 圆C关于直线l：ax＋by＝2对称，∴圆心在l上， ∴2a＋b＝2，∴a＋＝1.又a＞0，b＞0， ∴的最小值为4.]＋＋2＝4，∴＋1≥2＋＝1＋＋＝＋ 6．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________． 解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3.＝x－1＋ 答案：3 7．(2020·山东模拟)若直线＝0(a>0，b>0)和圆x2＋y2＝1相切，则a＋4b的最小值为________． y＋2x－ 解析：由题意知圆心到直线的距离d＝.，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以a＋4b的最小值为＝×2＋≥＋＝＝4，a＋4b＝(a＋4b)·＋＝1，即a＋b＝4ab，即 答案： 8．(工程设计)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元， 则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)， 因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以k1＝5，k2＝20， 所以运费与仓储费之和为万元， 因为5x＋，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元． ＝20，当且仅当5x＝≥2 答案：2　20 9．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥a＋b＋c.＋＋ 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＝2c，≥2＋ ＝2a.≥2＋＝2b，≥2＋ 以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)， 即≥a＋b＋c.＋＋ 10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)得 (1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1， ∴3xy－2－1≥0，)2－2－1≥0，即3( ∴(3－1)≥0，＋1)( ∴≥1，∴xy≥1， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1. (2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2. 3 $$