6.3.1 平面向量基本定理-2020-2021学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 1 平面向量的基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. ①这个定理告诉我们，平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，一旦选定一组基 底，则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. 不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. ②对于确定的基底，同一向量的分解式是唯一的，不同向量的分解式是不同的. ③同一非零向量在不同的基底下分解式是不同的，零向量的分解式是唯一的，即： ④这个定理可以推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可以表示 成其余两个向量的线性组合，且形式唯一. 【1】判断下列说法的正误. 【解】A错误，任意两个不共线的向量都可以 A. 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B. 若是同一平面内两个不共线向量，则可 以表示该平面内所有向量 C. 若，则 D. 基底向量可以是零向量 B正确，跟定理表述一样 C错误，当和共线时，结论不一定成立 D错误，基底向量是两个不共线的向量，则一定是非零向量 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理的证明 如图是同一平面内两个不共线向量，是这一平面内的任一向量，在平面内任取一点O，做OA= ，OB= ，OC=，过点C分别作平行与OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线OB于点N，有OM= OA，ON= OB， 为实数. ∵ OC=OM+ON，∴ 【的存在性】 假设存在另一组实数，也能使 成立，那么 就有即 ∵不共线，∴ 即 ∵使成立的是唯一的 【的唯一性】 若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一. 平面向量基本定理的有关结论 2 ★ 设是平面内一组基底，若，当时， 与共线； 当时与共线，当时，，同样的,当时， . ★ 设是平面内两个不共线向量，若 则 ★ 平面上任意一个向量都可以分解为两个不共线向量的线性组合，即.若向量与相等，则对应系数 相等，即，一个平面向量方程相当于两个普通方程. 平面向量基本定理的有关结论 2 n个不共线的向量与n个实数所组成的向量+叫做向量的线性组合