2.5基本不等式与恒成立问题-2020-2021学年高一数学常考题型专练（人教A版2019必修第一册）

专题2.5基本不等式与恒成立问题 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·安徽）若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，C正确；时，，A错； 时，，B错；，D错． 2．（2020·石家庄市第十九中学高一期中）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，又因为恒成立，所以，解得． 3．（2020·湖南省临澧县第一中学高一期中）已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】因为，恒成立，即，所以， 即，又，所以 所以，所以，所以正实数的最小值为2． 4．（2020·长春市第二中学高一月考）若命题“，”为真命题，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以由，成立，可得， 5．（2020·安徽高二期中（理））若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的最大值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 而，当且仅当时，取等号.所以原问题转化为，解得.正实数a的最大值是4. 6．（2020·山东济宁市·高一期中）已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为恒成立，则， ，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，所以，即，解得：， 7．已知实数，，且，若不等式，对任意的正实数，恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当时，，所以当时，的最小值是，那么原式恒成立，等价于，所以． 8．（2020·重庆高一期中）设，对于使恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为的下确界，若，且，则的下确界为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】由题意知：因为，且，所以，即，当且仅当时取等号，又，所以，当且仅当时取等号，此时的下确界为. 9．（2020·浙江高一期末）已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为不等式对于一切实数恒成立，所以，又因为，使得成立，所以，所以，即，所以，当且仅当时取得最小值. 10．（2020·石家庄市第十九中学高一期中）设，，给出下列不等式不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，对于A选项：，故A选项的不等式恒成立； ，故B选项不恒成立；，当且仅当即时取等号，故C选项中的不等式恒成立，因为，，，当且仅当，，即时取等号，故D选项中的不等式恒成立， 11．（2020·江苏高一月考）正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正数满足， 所以，当且仅当，时，等号成立．故的最小值为8．又因为对任意正数恒成立，即，解得，所以实数x的取值范围是． 12．若对恒成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】将两边平方整理得，令将原题转化为对一切恒成立.显然时不等式不恒成立，故，则由对称轴知，结合得，所以实数的最小值是. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13．（2020·浙江高一期末）已知，，且，若不等式恒成立，则实数t的取值范围__________. 【答案】 【详解】因为，，且，所以， 所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为16，所以不等式恒成立，等价于，解得，所以t的取值范围为 14．（2020·江苏高一课时练习）若命题“∃x∈[0，3]，使得x2﹣ax+3＜0成立”是假命题，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】若命题“∃x∈[0，3]，使得x2﹣ax+3＜0成立”是假命题，则有：“x∈[0，3]，使得x2﹣ax+3≥0成立” 是真命题.即：x2+3≥ax在x∈[0，3] 上恒成立，当x＝0时，3≥0恒成立.a∈R， 当x≠0时，a≤x+，x∈（0，3]，则a≤（x+）min，又，当且仅当x＝时取等号，