专题05 数列-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题5数列 1．等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设 ，求数列的前项和. 2．设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）记，求数列的前项和为. 3．已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性；并求当时，恒成立时，实数a的取值范围； （2）求证：对任意正整数n，都有（其中e为自然对数的底数）. 4．已知数列，，，若数列、都是等比数列，公比分别是、，设是数列的前项和，数列是的零点按从小到大的顺序排成的数列. （1）求数列的通项公式，并证明：； （2）证明：，有. 5．在数列中，. （1）判断数列是否为等比数列？并说明理由； （2）若对任意正整数，恒成立，求首项的取值范围. 6．已知（） （1）若对恒成立，求实数a范围； （2）求证：对，都有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题5数列 1．等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设 ，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和 试题解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝． 由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝． 故数列{an}的通项公式为an＝． （Ⅱ）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－． 故． 所以数列的前n项和为 2．设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）记，求数列的前项和为. 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）当时，==4； 当时，， 且亦满足此关系， ∴的通项为， 设的公比为，则，则， ∴； （2）由题意，， 而， ， 两式相减，有， ． 3．已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性；并求当时，恒成立时，实数a的取值范围； （2）求证：对任意正整数n，都有（其中e为自然对数的底数）. 【答案】（1）单调性见解析，；（2）证明详见解析. 【解析】（1）函数的定义域为，， ①当时，，所以在上单调递增， ②当时，令，解得： 、 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此，当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，显然当时在上恒成立， 当时，，而函数再上单调递增，在上单调递减，所以与题意矛盾， 当时，，则， 所以函数再上单调递减，即， 故当时，函数再上恒成立时的取值范围为. （2）由（1）知，当时，有， 令，则， 所以 ， 即 ， 所以 4．已知数列，，，若数列、都是等比数列，公比分别是、，设是数列的前项和，数列是的零点按从小到大的顺序排成的数列. （1）求数列的通项公式，并证明：； （2）证明：，有. 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为数列、的公比分别为、， 所以， ②①得，③；②①得，④. ，由④可得，. 又分别又③④可得， 联立，可得， 解得或（不合题意，舍去）. 由④得. 因为， 所以； （2）由题，，故，则，显然， 且，故点在第一、四象限， 即时，，其中， 又， 令，可得，解得； 令，可得，解得. 所以，函数在递增，递减. ①当时，，， 所以，有且只有一解； ②当时，，，， 故当，无解； 当，有且仅有一解. 综合①②可得：点在第一、四象限交替出现，且，故易得为函数在内的零点，且满足.（*） （i）当时，显然有，即； （ii）当时，由函数的单调性可知，要证， 只需即可， 令，则，当时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，，即， 所以，， 又令，其中，则， 所以，函数在区间上单调递减， 则， 又，故， 故 由可知，， 综合（i）、（ii）和（*）可知，，. 5．在数列中，. （1）判断数列是否为等比数列？并说明理由； （2）若对任意正整数，恒成立，求首项的取值范围. 【答案】（1）答案见解析.（2） 【解析】（1）因为，所以， 所以， 所以， 所以当即时，， 所以当时，数列不是等比数列； 当，即时，，所以， 所以当时，数列是等比数列； （2）由（1）知，当时，，所以恒成