专题04 平面向量-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题4平面向量 1．如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由. 2.设曲线过两点.为坐标原点. （1）求曲线的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围.若不存在，说明理由. 3．已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于 两点，的面积为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围. 4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，. （1）①证明：； ②证明：存在点P使得.并求出P的坐标； （2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标. 5．在平面直角坐标系中，点，分别为椭圆C：的左右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆C上，不在轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形的周长为. （1）求动点P的轨迹方程； （2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M，N，线段MN的中点为G，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时ΔOMN的形状. 6．已知曲线，点是曲线上的动点. （1）已知定点，动点满足，求动点的轨迹方程； （2）设点为曲线与轴的正半轴交点，将沿逆时针旋转得到点，点在曲线上运动，若，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题4平面向量 1．如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）存在，或． 【解析】（1）因为圆的方程为， 所以，半径． 因为是线段的垂直平分线，所以． 所以． 因为， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆． 因为，，， 所以曲线的方程为． （2）存在直线使得． 方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为． 设， 由 得． 则， ① ， ② 由题意知，解得． 因为， 所以，即． ③ 把③代入①得， ④ 把④代入②得，得，满足． 所以直线的方程为：或． 方法二：因为当直线的斜率为0时，，，， 此时． 因此设直线的方程为：． 设， 由 得． 由题意知，解得或， 则， ① ， ② 因为，所以． ③ 把③代入①得， ④ 把④代入②得，，满足或． 所以直线的方程为或． 2.设曲线过两点.为坐标原点. （1）求曲线的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围.若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在；；弦的取值范围是. 【解析】解：（1）由已知得：解得.所以曲线方程为. （2）当切线斜率存在时，设切线方程为 联立得 ，得 设 则 因为 所以 即 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离 即 所以圆的方程为： 特别地，当圆的切线斜率不存在时，也满足，所以这样的圆存在，方程为. 此时 所以 将代入得： ①当时， ②当时，，当时取等号 又，所以 ③当斜率不存在时， 综上可知：，所以弦的取值范围是. 3．已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于 两点，的面积为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) （﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0} 【解析】（Ⅰ）根据题目条件，由椭圆焦点坐标和对称性计算的面积，建立等式关系，结合关系式，离心率计算公式，问题可得解；（Ⅱ）由题意，可分直线是否过原点，对截距进行分类讨论，再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可. （Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，， 由题意的面积为， 由已知得，∴，∴， ∴椭圆的标准方程为． （Ⅱ）若，则，由椭圆的对称性得，即， ∴能使成立． 若，由，得， 因为，，共线，所以，解得．　 设，，由 得， 由已知得，即， 且，， 由，得，即，∴， ∴，即． 当时，不成立，∴， ∵，∴，即， ∴，解得或． 综上所