第一讲 三角形的证明-2020-2021学年八年级数学下学期培优巩固提升卷（北师大版）

2021八年级数学下册同步课堂培优--三角形的基础证明 【能力知识点】 1 等腰三角形 (1)等腰三角形的有关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 (2)等腰三角形的性质 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） (3)等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”） 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 2 等边三角形 (1)等边三角形的有关概念 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。 (2)等边三角形的性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 。 ②等边三角形三边都相等. ③还满足等腰三角形的所有性质 (3)等边三角形的判定 等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定2：三边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定3：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形； (4)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 3 等腰直角三角形 (1)在等腰三角形中，还有一种特殊的等腰三角形————等腰直角三角形 等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两直角边相等 直角边与斜边的夹角是锐角45度， (2)斜边上中线，角平分线，垂线 三线合一 (3)三边的比值为1：1: 4.直角三角形 直角三角形的性质与判定： (1)直角三角形两锐角互余； (2)有一个角等于 90°的三角形是直角三角形； (3)含30°角的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半 (4)勾股定理 　　①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 　　②勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足若c2=a2+b2，那么这个三角形是直角三角形。 4.全等三角形的判定和性质 若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件在Rt△ABC和Rt△ABD 5.线段垂直平分线的性质 (1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称. (3)线段垂直平分线性质定理的逆定理 ①到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ②定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. (4)关于三角形三边垂直平分线的定理 ①三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. ②定理的作用：证明三角形内的线段相等. (5)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： ①若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； ②若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； ③若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 6.角平分线性质定理 (1)角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. (2)定理的作用 ①证明两条线段相等； ②用于几何作图问题； (3)角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. (4)角平分线性质定理的逆定理： ①在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. ②定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. (5)关于三角形三条角平分线的定理： ①三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. ②定理的作用： a:用于证明三角形内的线段相等； b:用于实际中的几何作图问题. (6)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 7.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： (1)会作已知线段的垂直平分线； (2)会作已知角的角平分线； (3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 【能力训练点】 一 选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.到三角形的三个顶点距离相等的点是( ) A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解答】 解：到两个顶点距离相等的点在这两个顶点为端点的线段的垂直平分线上． ∴到三角形三个顶点距离相等的点