7.5 正态分布-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第三册）

7.5正态分布 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小 3.会用正态分布去解决实际问题 【自主学习】 知识点一 正态曲线与正态分布 1.正态曲线 函数，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，的图象为 ，简称正态曲线． 2．正态分布 如果对于任何实数，随机变量X满足，则称随机变量X服从正态分布． 正态分布完全由参数 和 确定，因此正态分布常记作 ，如果随机变量X服从正态分布，则记为 ． 知识点二 正态曲线的性质 正态曲线，有以下性质： (1)曲线位于x轴 ，与x轴 ； (2)曲线是单峰的，它关于直线 对称； (3)曲线在 处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为 ； (5)当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝ ； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝ ； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ . 由P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，知正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则． 【合作探究】 探究一 正态曲线的图象的应用 【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． [解析]　从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是， 所以μ＝20.由＝，解得σ＝. 于是该正态分布密度函数的解析式是 f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 归纳总结： 【练习1】某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 答案：A 解析：本题考查μ，σ的意义以及它们在正态曲线中的作用．由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A. 探究二 利用正态分布的对称性求概率 【例2】设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)； (2)P(3＜X≤5)； (3)P(X＞5)． [解析]　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)， 所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)] ＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] ＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)P(X＞5)＝P(X≤－3)＝[1－P(－3＜X≤5)]＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝0.022 8. 归纳总结：(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)． ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6、0.954 4、0.997 4求解． 【练习2】已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝(　　) A．0.6　　　　　　　 B．0.4 C．0.3 D．0.2 答案：C 解析：∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2. ∵P(ξ＜4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2， ∴P(0＜ξ＜4)＝0.6.∴P(0＜