7.3.2 离散型随机变量的方差-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2离散型随机变量的方差 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题 【自主学习】 知识点一 方差及标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)方差：； (2)标准差：. 知识点二 方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度． 方差或标准差 ，则随机变量偏离于均值的平均程度 ． 知识点三 方差的性质 方差的性质：D(aX＋b)＝ ． 【合作探究】 探究一 求离散型随机变量的方差 【例1】袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差． 归纳总结： 【练习1】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，每次从袋中任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球． (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率； (2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差． 探究二 方差的性质 【例2】随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（ ） A. B. C. D. 归纳总结： 【练习2】已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝________. A．6　　　　　　　　 B．8 C．18 D．20 探究三 离散型随机变量的方差的应用 【例3】为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． 归纳总结： 【练习3】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为： ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 η 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定两个保护区的管理水平． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．下面说法中正确的是(　　) A．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的概率的平均值 B．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的平均水平 C．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平 D．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的概率的平均值 2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　) A．6　　　　　　　 B．9 C．3 D．4 3．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为X，则D(X)等于(　　) A. B. C. D. 4．已知随机变量ξ的分布列为： ξ －1 0 1 P 则在下列式子①E(ξ)＝－，②D(ξ)＝，③P(ξ＝0)＝中，正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝(　　) A. B．－ C. D. 二、填空题 6．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________． 7．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________. 8．若随机变量ξ的分布列如下： ξ 0 1 x P p 若E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝ . 9．随机变量ξ的分布列为： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是 . 10．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________. 三、解答题 11．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，求D(ξ)的值． 12．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者