6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第三册）

6.1.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 【自主学习】 知识点一 分类加法计数原理 1.完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. 2.完成一件事有n类不同的方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 知识点二 分步乘法计数原理 1.完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 2.完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 则完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 【合作探究】 探究一 分类加法计数原理的应用 【例1】某校高三共有三个班，其各班人数如下表： 班级 男生数 女生数 总数 高三(1) 30 20 50 高三(2) 30 30 60 高三(3) 35 20 55 (1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解　(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从高三(1)班任选一名学生，有50种不同选法； 第2类，从高三(2)班任选一名学生，有60种不同选法； 第3类，从高三(3)班任选一名学生，有55种不同选法. 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种). (2)由题设知共有三类： 第1类，从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第2类，从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第3类，从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法. 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种). 归纳总结： 【练习1】如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们由网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递.则单位时间内传递的最大信息量是________. 【答案】　19 解析　若以网线为标准，则完成“从结点A向结点B传递信息”这件事也可分为四类，从而分解为若干个简单的问题后再各个击破. 分四类：第一类，网线为12→5→3，单位时间传递的最大信息量是3；第二类，网线为12→6→4，单位时间传递的最大信息量是4；第三类，网线为12→6→7，单位时间传递的最大信息量是6；第四类，网线为12→8→6，单位时间传递的最大信息量是6.根据分类加法计数原理，单位时间内传递最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19. 探究二 分步乘法计数原理的应用 【例2】从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________. 【答案】　100 解析　由题意知a不能为0， 故a的值有5种选法； b的值也有5种选法； c的值有4种选法. 由分步乘法计数原理得： 5×5×4＝100(条). 归纳总结： 1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. 2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路： (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步； (2)计数：求出每一步中的方法数； (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 【练习2】从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取三个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条. 【答案】　30 解析　该题实质上就是给A，B，C赋值.但首先要搞清楚直线过原点所隐含的条件，即C＝0，所以，下面只需安排A，B.从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A，B的值，分为两步：第一步取一个数作为A，有6种；第二步从剩下的5个数中取一个数作为B，有5种. 所以由分步乘法计数原理得：直线的条数为6×5＝30. 探究三 两个计数原理的综合应用 【例3】某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地. (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班