专题06 导数的计算（重难点突破 ）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版)

专题06 导数的计算 【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表： 函数 导数 （为常数） 2．基本初等函数的导数公式 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则； （7）若，则； （8）若，则． 3．导数运算法则 （1）； （2）； （3）． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作． （2）复合函数的求导法则 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为___________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【重难点题型突破】： 一、求函数的导数 （1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． （2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧： ①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． ②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导． ③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导． （3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导． 例1.下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：因为′＝x′＋′＝1－，所以A选项错误； 又(log2x)′＝，所以选项B正确； 又(3x)′＝3xln 3，所以选项C错误；[来源:Z.xx.k.Com] 又(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以选项D错误． 【变式训练1-1】、已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，即， 因为，所以，解得，故， 所以，所以，所以， 故选D． 【变式训练1-2】、已知函数的导函数是，且，则实数______________． 【答案】 【解析】由题意得，因为，所以，解得． 二、复合函数求导 对于复合函数的求导，一般步骤为： （1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； （2）利用求导法则分层求导； （3）最终结果要将中间变量换成自变量． 例2.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）方法1： ． 方法2：因为， 所以． （2）． （3）． 例3.求下列函数的导数： （1）；（2）；（3）． 【参考答案】见试题解析． 【试题解析】（1）方法1：∵, ∴ 方法2： ． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴ ． 【变式训练3-1】．求下列函数的导函数： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1） （2）方法1： 方法2：因为, 所以． 三、导数几何意义的应用 利用导数的几何意义解题时需注意： （1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解； （2）在切点处的导数值等于切线的斜率． 例4.）已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则（ ） A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a=e-1，b=1 D．a=e-1， 【解析】： 的导数为， 又函数在点处的切线方程为， 可得，解得， 又切点为，可得，即. 故选D． 例5.（2019天津文11）曲线在点处的切线方程为__________. 【解析】： 由题意，可知.因为， 所以曲线在点处的切线方程，即． 【变式训练5-1】、曲线在点处的切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【解析】，所以 。 【变式训练5-2】．（2015新课标2）已知曲线在点处的切线与曲线相 切，则 ． 【解析】∵，∴，∴在点处的切线方程为，∴ ，又切线与曲线相切，当时，与平行，故 ．∵，∴令得，代入，得，∴点 在的图象上，故，∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第1页 /共 1页 $$ 专题06 导数的计算 【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表： 函数 导数 （为常数） 2．基本初等函数的导数公式 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则； （7）若，则； （8）若，则． 3．导数运算法则 （1）； （2）； （3）． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示