专题05 导数的概念（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版)

专题05 导数的概念 【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为： 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即。 二、导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：。 也可称为三步法求导数。 【重难点题型突破】： 一、平均变化率与瞬时变化率 函数在某点处的导数 例1．（1）设函数，当自变量x由改变到+Δx时，函数的增量Δy为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 由公式可得，故选D。 （2）若函数f（x）=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于 A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx2 【答案】C 【解析】Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx，=4+2Δx. 例2. 函数在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。 【解析】 ∵ ，∴ 例3.求函数y=2x2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当时，平均变化率的值。 【答案】 ∵ ∴，函数在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为。 当时，，即平均变化率的值为9. 例4. 已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ． 【答案】 ∵ ，∴ 二、利用定义求导数的值 例5.（1）设函数在处存在导数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选A. （2）设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则= _______________． 【答案】 【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得： ==×f′(1)=. 例6. 用导数的定义，求函数在x=1处的导数。 【解析】∵ ∴∴。 【点评】 利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。 例7. （1）求函数 在x=1处的导数. （2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 【答案】 (1) , ，即. 所以 函数 在x=1处的导数为6 . （2） 依照定义，f(x)在的平均变化率，为两增量之比， 需先求， 再求：，即为f(x)=在附近的平均变化率。 再由导数定义得： 例8. 已知函数，求函数在x=4处的导数. 【答案】（1） ， 例9. 已知，求， 【答案】 因为，所以 。 当Δx→0时，，∴当x=2时，。 三、导数的几何意义 例10.已知的图象如图所示，则与的大小关系是 A． B． C． D．与大小不能确定 例11.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则= ；= . 【答案】 　2， 2 【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。 例12.已知曲线． （1）求曲线上横坐标为2的点处的切线方程； （2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？ 【答案】（1）；（2）切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点． 【解析】（1）将代入曲线的方程，得，则切点的坐标为． ， 则． 故曲线在点处的切线方程为，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第1页 /共 1页 $$ 专题05 导数的概念 【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为： 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即。 二、导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：。 也可称为三步法求导数。 【重难点题型突破】： 一、平均变化率与瞬时变化率 函数在某点处的导数 例1．（1）设函数，当自变量x由改变到+Δx时，函数的增量Δy为（ ） A． B． C． D． （2）若函数f（x）=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于