5.3.2　第2课时　函数的最大(小)值（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

第2课时　函数的最大(小)值 课程内容标准 学科素养凝练 1．能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 2．体会导数与单调性、最大(小)值的关系. 1．在求函数最值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．在研究导数、单调性、最值的关系中提升数学抽象和逻辑推理的核心素养. 1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值 (1)取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线． (2)结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，函数的最值在极值点或区间端点取得． 2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值. (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)闭区间上的连续函数一定有最值．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得．(　　) (4)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别是(　　) A．f(1)与f(－1)　　 B．f(1)与f(2) C．f(－1)与f(2)　　 D．f(2)与f(－1) B　[f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，即4－4x3>0⇒x<1，f′(x)<0⇒x>1，∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)．] 3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．无最值　　 B．有极值 C．有最大值　　 D．有最小值 A　[f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．] 4．函数y＝在[0,2]上的最大值为________. 　[∵y′＝＝，令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝.∴f(x)max＝f(1)＝.] 5．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________. (－4，－2)　[f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题设得－2<<－1，故m∈(－4，－2)．] 探究一　求函数在闭区间上的最值 [知能解读] 1．对函数最大(小)值的认识 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念． 2．函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值． 求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数． 解　(1)∵f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]，∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1,3) 3 (3,4) 4 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 3 ↗ 极大 值10 ↘ 极小值 －22 ↗ －15 由表格可以看出：函数y＝f(x)的最大值为f(－1)＝10，最小值为f(3)＝－22. (2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－. 当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数． 故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0. [方法总结]　导数法求函数最值要注意的问题 (1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点． (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，