5.3.2　第1课时　函数的极值（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 课程内容标准 学科素养凝练 1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3．体会导数与单调性、极值的关系. 1．在学习函数极值概念的过程中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在求函数极值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养. 函数的极值 1．极小值点与极小值 (1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0. (2)导数符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. (3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 (1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0. (2)导数符号：在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. (3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极值的定义 (1)极大值与极小值统称为极值． (2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质. 4．函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”． 可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同. 如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点． 5．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)． (2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　　) (2)函数的极小值一定小于它的极大值．(　　) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值．(　　) (4)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 C　[f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．] 3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________. 答案　x＝2 4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________. －19　[y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.] 探究一　求函数的极值 [知能解读] 1．对于极值的认识 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的．极值点是区间内部的点而不会是端点． (2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 2．对于函数极值点的认识 (1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的． (3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正． 求下列函数的极值点和极值． (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝＋3ln x；(3)f(x)＝x2e－x. 解　(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 极大值 递减 极小值－6 递增 因此当x＝－1时，f(x)有极大值，f(－1)＝，当x＝3时，f(x)有极小值，f(3)＝－6. (2)函数f