5.3.1　第1课时　函数的单调性与导数（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　函数的单调性 课程内容标准 学科素养凝练 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1．在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成逻辑推理、数学运算的核心素养. 函数单调性与其导数正负的关系 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内， 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常数函数 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (2)若函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定有f′(x)>0.(　　) (3)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 答案　A 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)>0　　　 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0　　 D．f′(3)的正负不确定 B　[由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.] 4．函数y＝x3－3x的单调减区间是(　　) A．(－∞，0)　　 B．(0，＋∞) C．(－1,1)　　 D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 答案　C 5．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________. 答案　单调递增 第1课时　函数的单调性与导数 探究一　导数与函数图象的关系 [知能解读]　对导数与函数图象的关系，需注意以下三个方面 (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)导数与函数图象的关系 ①函数值增加得越来越快，f′(x)>0且越来越大； ②函数值增加得越来越慢，f′(x)>0且越来越小； ③函数值减少得越来越快，f′(x)<0且越来越少，绝对值越来越大； ④函数值减少得越来越慢，f′(x)<0且越来越大，绝对值越来越小． (3)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　) D　[由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．] [方法总结] 1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． [训练1]　设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) D　[A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．] 探究二　函数的单调性 求证：f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． 证明　∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)， 当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x>0，e2x>1， ∴f′(x)>0，因此函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． [方法总结]　利用导数证明或判断函数单调性的思路 [训练2]　求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． 证明　由f(x)＝ex－x－1，得f′(x)＝ex－1. 当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内为增函数． 当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，即f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)内是减函数． 探究三　求函数的单调区间 求函数f(x)＝x2·e－x的单调区间． 解题程序： 第一步：泛读题目明待求结论：求函数单调区间． 第二步：精读题目挖已知条件：函数解析式为积的形式． 第三步：建立联系寻解题思路：首