5.2.3　简单复合函数的导数（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

5.2.3　简单复合函数的导数 课程内容标准 学科素养凝练 1．能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 2．能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题. 1．在运用复合函数求导公式解题过程中提升数学抽象和数学运算的核心素养． 2．在解决实际问题的过程中培养数学建模的核心素养. 一、复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 二、复合函数的求导公式 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y＝y·u，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)下列函数都是复合函数．(　　) ①y＝－x3－＋1；②y＝cos；③y＝；④y＝(2x＋3)4. (2)函数y＝的导数是y′＝－.(　　) (3)函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1　　 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n　　 D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案　A 3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 D　[f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4.] 4．函数y＝cos的导数为________. 3sin　[y′＝′＝－sin·(－3)＝3sin.] 探究一　复合函数导数运算 [知能解读] 1．利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤： (1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数． (2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数． 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝cos x2；(3)y＝sin；(4)y＝. 解　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4，所以y＝－4u－5，u＝－3. 所以y＝y·u＝12u－5＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u，所以y＝y·u＝－sin u·2x＝－2xsin x2. (3)令u＝2x－，则y＝sin u，所以y＝y·u＝cos u·2＝2cos. (4)令u＝1＋x2，则y＝u，所以y＝y·u＝u－·2x＝x·u－＝ . [方法总结]　对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即： (1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量． 注意不要漏掉第(3)步回代的过程． [训练1]　求下列函数的导数． (1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ)． 解　(1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋3的复合函数． ∴y＝y·u＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12. (2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu和函数u＝－0.05x＋1的复合函数． ∴y＝y·u＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1. (3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数． ∴y＝y·u＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π＝πcos(πx＋φ)． 探究二　复合函数求导的应用 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． 解　设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋(0≤t≤24)． 由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cos x·＝cos. 将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝ m/h. 它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h. [方法总结]　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况． [训练2]　f(x)＝，且f′(1)＝1，则a的值为________. 2　[∵f′(x)＝·(ax－1)′＝，∴f′(1)＝＝1.解得a