5.2.2　导数的四则运算法则（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

5.2.2　导数的四则运算法则 课程内容标准 学科素养凝练 1．能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 1．通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养． 2．通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. 导数的运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 (1)和(差)的导数 符号表示：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)积的导数 符号表示：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). 特别地，当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝cf′(x). (3)商的导数 符号表示：′＝(g(x)≠0)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．(　　) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(　　) (3)(x2cos x)′＝－2xsin x．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．函数f(x)＝2x＋sin x的导数是________. 2xln 2＋cos x　[f′(x)＝(2x)′＋(sin x)′＝2xln 2＋cos x．] 3．函数y＝sin x·cos x的导数是________. y′＝cos2x－sin2x　[y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.] 4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________. 1　[f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.] 5．某人拉着一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t，则W′(1)，W′(2)分别为________ J/s，________ J/s. 7　4　[W′(t)＝3t2－12t＋16，W′(1)＝7(J/s)；W′(2)＝4(J/s)．] 探究一　导数四则运算法则的应用 [知能解读] 1．公式推广 函数和、差导数可以推广到n个函数 设f1(x)，f2(x)，…fn(x)在x处可导，则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)． 2．结构特征 乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式，分母平方，分子用“减号”． 求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋3x＋；(2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；(3)y＝3＋4. 解　(1)y′＝′＝′－′＋(3x)′＋()′＝x4－4x2＋3. (2)法1：y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5. 法2：∵y＝12x10－7x8－12x6，∴y′＝120x9－56x7－72x5. (3)y′＝(3＋4)′＝(3x)′＋(4x)′＝4x＋6x＝4＋6. [方法总结] 1．多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导. 　 [训练1]　求下列函数的导数： (1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝. 解　(1)y′＝(x·tan x)′＝′ ＝＝ ＝. (2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11. 解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (3)解法1：y′＝′＝＝＝. 解法2：∵y＝＝＝1－，∴y′＝′＝′＝. 探究二　导数四则运算法则在实际生活中的应用 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是(单位：元)：C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，其中x为日产量．求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg和300 kg时的边际利润，并说明其经济