5.2.1　基本初等函数的导数（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 课程内容标准 学科素养凝练 1．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 一、几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)常数函数的导数是它本身．(　　) (2)指数函数的导数还是指数函数．(　　) (3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．函数y＝5－1的导数是(　　) A．0　　 B．1　　 C．不存在　　 D．不确定 答案　A 3．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若y＝0，则y′＝0　　 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2　　 D．若y＝x，则y′＝x 答案　ABC 4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 答案　1 5．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是________. (0,0)　[(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，∴y＝0，即切点为(0,0)．] 探究一　用求导公式求函数的导数 [知能解读]　关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． 求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝ ；(4)y＝log5x；(5)y＝cos；(6)y＝sin ；(7)y＝ln x；(8)y＝ex. 解　(1)y′＝－3x－4.　(2)y′＝3xln 3. (3)y＝ ＝ ＝x，∴y′＝x－. (4)y′＝.　(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.　(7)y′＝.　(8)y′＝ex. [方法总结]　求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [训练1]　(多选题)下列结论错误的是(　　) A．(cos x)′＝sin x　　 B．′＝cos C．若y＝，则y′＝－　　 D．′＝ ABC　[因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误；sin ＝，而′＝0，所以B错误；′＝(x－2)′＝－2x－3，所以C错误；′＝(－x－)′＝x－＝，所以D正确．] 探究二　利用导数公式求切线方程 求曲线y＝ln x在点P处的切线方程． 解　因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝，即切线斜率为，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [变式1]　求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线． 解　因为点O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)， 则切线斜率k＝，又因为k＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0. [变式2]　若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． 解　问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．因为y＝mx图象过(0,0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝，又因为m＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，m＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪. [方法总结]　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [训练2]　在曲线y＝f(x)＝上求