5.1.2　导数的概念及其几何意义（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

5.1.2　导数的概念及其几何意义 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解导数概念的实际背景，体会极限思想． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义. 1．通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养． 2．通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养. 一、平均变化率与导数概念 1．平均变化率：对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . 二、导数的几何意义 1．切线：如图所示，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 2．导数的几何意义：割线P0P的斜率k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0). 3．导数：当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝ y′＝ . 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)函数在x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(　　) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．函数f(x)在x＝a可导，则 ＝(　　) A．f(a)　　 B．f′(a)　　 C．f′(h)　　 D．f(h) 答案　B 3．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 B　[由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．] 探究一　求函数在一点处的导数 已知f(x)＝x2＋3，求f(x)在x＝1处的导数． 解　因为＝＝＝2＋Δx， f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2. [方法总结]　利用导数定义求导数的三步曲　　　　 　 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ . 简记为：一差，二比，三趋近． [训练1]　求函数f(x)＝3x2＋ax＋b在x＝1处的导数． 解　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(3＋a＋b)＝3(Δx)2＋(6＋a)Δx. ＝＝3Δx＋6＋a. ＝ (3Δx＋6＋a)＝6＋a.∴f′(1)＝6＋a. [训练2]　已知函数y＝x2＋＋5，若该函数在x＝a处的导数为0，试求a的值． 解　当x＝a时，Δy＝(a＋Δx)2＋＋5－＝2a·Δx＋(Δx)2＋， ∴＝2a＋Δx－，∴ ＝ ＝2a－， ∴2a－＝0，a＝. 探究二　实际问题中的瞬时变化率问题 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解　位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2， ∴＝at0＋aΔt，∴ ＝ ＝at0. 已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s. ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. [方法总结]　在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是时