5.1.1　变化率问题（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 课程内容标准 学科素养凝练 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2．感悟极限的思想. 1．通过学习函数的平均变化率与瞬时变化率的概念，从而达成数学抽象的核心素养． 2．通过对割线与切线的学习提升直观想象的核心素养. 一、瞬时速度及瞬时速度与平均速度的关系 1．瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．以高台跳水运动员的速度为例来阐述瞬时速度与平均速度的关系： 引例：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.描述运动员在t＝1时刻附近某一时间段内的平均速度为和求运动员在t＝1时的瞬时速度． (1)取时刻：任取时刻1＋Δt(Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0)； (2)定区间：当Δt>0时，取时间段[1,1＋Δt](Δt<0时，取时间段[1＋Δt,1])； (3)求平均速度：把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成匀速直线运动，计算平均速度＝＝－4.9Δt－5； (4)求极限：在＝＝－4.9Δt－5中，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt无限趋近于0，所以无限趋近于－5； (5)求瞬时速度：从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度． 二、切线的斜率 1．切线的定义(以抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线为例，如图所示) 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 2．抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的割线与切线的关系 (1)割线斜率：记Δx＝x－1，则点P的坐标是(1＋Δx，(1＋Δx)2)，于是割线P0P的斜率k＝＝＝Δx＋2. (2)求极限：在k＝＝＝Δx＋2中，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2，把2叫做“当Δx无限趋近于0时，k＝的极限”，记为 ＝2. (3)割线斜率与切线斜率之间的关系：当横坐标间隔|Δx|无限变小时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在求平均变化率时，自变量的增量Δx可以取任意实数．(　　) (2)曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点．(　　) (3)若曲线y＝f(x)在x0处的切线的斜率为k，则＝k.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝(　　) A．f(x0＋Δx)　　　 B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx　　 D．f(x0＋Δx)－f(x0) 答案　D 3．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　) A．6＋Δt　　 B．6＋Δt＋ C．3＋Δt　　 D．9＋Δt A　[因为Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝6Δt＋(Δt)2，所以＝6＋Δt.] 4．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式s(t)＝gt2(g＝9.8 m/s2)，试估计t＝3 s时物体下落的瞬时速度是________. 29.4 m/s　[从3 s到(3＋Δt)s这段时间内位移的增量Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝4.9(3＋Δt)2－4.9×32＝29.4Δt＋4.9(Δt)2，从而＝29.4＋4.9Δt.当Δt趋于0时，趋于29.4 m/s.] 探究一　求平均速度和瞬时速度 若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝求： (1)物体在t∈[3,5]上的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解　(1)因为物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3,5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝ ＝3Δt－18， 所以物体在t＝0处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝ ＝3Δt－12， 所以物体在t＝1处瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. [方法总结] 1．求运动物