专题17 圆锥曲线中的椭圆问题-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题17 圆锥曲线中的椭圆问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则 A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【答案】B 【解析】椭圆的离心率 ，化简得 ， 故选B. 2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设 为椭圆C: 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若 为等腰三角形，则M的坐标为___________. 【答案】 【解析】由已知可得 ， ，∴ ． 设点 的坐标为 ，则 ， 又 ，解得 ， ，解得 （ 舍去）， 的坐标为 ． 3、【2018年高考浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A，B满足 =2 ，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 【答案】 【解析】设 ， ， 由 得 ， ， 所以 ， 因为 ， 在椭圆上，所以 ， ， 所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 与 对应相减得 ， ， 当且仅当 时取最大值． 4、.（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知方程 ，若该方程表示椭圆方程，则 的取值范围是_______； 【答案】 或 【解析】 因为方程 ， 所以 ， 所以有 即 或 故答案为： 或 5、(2017无锡期末）设点P是有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝________. 【答案】eq \f(\r(5),3)　 【解析】不妨设F1，F2分别是左、右焦点，椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，P为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(PF1＋PF2＝2a1，,PF1－PF2＝2a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(PF1＝a1＋a2，,PF2＝a1－a2.))因为PF1⊥PF2，所以PFeq \o\al(2,1)＋PFeq \o\al(2,2)＝F1Feq \o\al(2,2)，即(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝(2c)2，化简得aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＝2c2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,c)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))2＝2，即eq \f(1,e\o\al(2,1))＋eq \f(1,e\o\al(2,2))＝2，又因为e2＝3e1，所以eeq \o\al(2,1)＝eq \f(5,9)，故e1＝eq \f(\r(5),3). 6、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，点 是椭圆上位于 轴上方的一点，若直线 的斜率为 ，且 ，则椭圆的离心率为________． 【答案】 ． 【解析】设 ，由直线 的斜率为 ，知 ，且 ，即得 ， 由 及椭圆定义知 ， 由余弦定理即可得， ，即 ，化简得 ， 故 或3（舍） 即 ． 故答案为： 【问题探究，变式训练】 题型一、椭圆的离心率 例1、【2018年高考全国Ⅱ理数】已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ， 由 的斜率为 可得 ， 所以 ， ， 由正弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， ，故选D． 变式1、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】已知 ， 分别为椭圆 ： 的左，右焦点，点 ， 分别是椭圆 的右顶点和上顶点，若直线 上存在点 ，使得 ，则椭圆 的离心率 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 ，即 在以 为直径的圆上，即 . 直线 ： ，即 ，圆心到直线的距离 ， 即 ，即 ，所以解得 . 故答案为： . 变式2、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆 的内接 的顶点 为短轴的一个端点，右焦点 ，线段 中点为 ，且 ，则椭圆离心率的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 由题意可设 ， ，线段 中点为 ，且 ， 可得 为 的重心，设 ， ， 由重心坐标公式可得， ， ， 即有 的中点 ，可得 ， ， 由题意可得点 在椭圆内，可得 ， 由 ，可得 ，即有 . 故答案为： . 变式3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆 的标准方程为 ，若斜率为1的直线与椭圆 相切同时亦与 （ 为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为 ，则 __________． 【答案】 【