第三章排列 、组合与二项式定理 A卷 基础达标卷(一) (基本计数原理 、排列与排列数)-2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册【创新思维】同步AB卷（人教B版）

参考答案与详解 «第三章　排列、组合与二项式定理» A卷􀅰基础达标卷(一) (基本计数原理、排列与排列数) １．C　依分步乘法计数原理,冠军获 得 者 可 能 有 的 种 数 是 ４×４×４ ＝４３． ２．B　依题意,可构成线路的条数为２×３＝６(条)． ３．B　由 ８ ! (９－n)!×３＝ ９! (１１－n)!×４ ,得(１１－n)(１０－n)＝１２,解 得 n＝７． ４．A　分 类 考 虑,若 最 少 一 堆 是 １ 个,那 由 至 多 ５ 个 知 另 两 堆 分 别 为４个、５个,只有一种分法;若最少一堆是２个,则由３＋５＝４＋ ４知有２种分法;若最少一堆是３个,则另两堆为３个、４个．故共 有分法１＋２＋１＝４(种)． ５．A　因为甲、乙都不是第一名且 不 是 最 后 一 名,所 以 先 排 乙,有 ３ 种情况; 再排甲,有２种情况;余下３人有 A３３种排法,故共有３×２×A３３＝ ３６种不同的情况． ６．D　四 棱 锥 SＧABCD,按 S→A→B→C →D 依 次 染 色,如 右 图 所 示．当 A,C 同 色时 有 ５×４×３×１×３＝１８０(种 )．当 A,C 不同色时,有５×４×３×２×２＝２４０ (种)． 因此共有１８０＋２４０＝４２０(种)． ７．C　根 据 题 意,分 ２ 种 情 况 讨 论:①“御” 排在第一,将剩下的“五艺”全 排 列,安 排 在 剩 下 的 ５ 周,有 A５５＝ １２０种排法,②“御”不排在第一,则“御”的排法有 ４种,“乐”的 排 法有４种,将剩下的“四艺”全 排 列,安 排 在 剩 下 的 ４ 周,有 A４４＝ ２４种情况,此时有４×４×２４＝３８４种排法,则一共有１２０＋３８４＝ ５０４种排法． ８．C　由题意,可看作五个位置排列五种事物; 若角排在第一 位,则 宫,羽 两 音 阶 可 以 排 在 ２３４５ 当 中 的 任 意 位 置,共有:A４４＝２４种排法;若角 排 在 第 二 位,则 宫,羽 两 音 阶 可 以 排在３４５当中的任 意 位 置,共 有:A２３A２２＝１２种 排 法;若 角 排 在 第 三位,则宫,羽两音阶可以排在１２也 可 以 排 在 ４５ 当 中 的 任 意 位 置,共有:２A２２×A２２＝８种排法;若角排 在 第 四 位,则 宫,羽 两 音 阶 可以排在１２３当中 的 任 意 位 置,共 有:A２３A２２＝１２种 排 法;若 角 排 在第五 位,则 宫,羽 两 音 阶 可 以 排 在 １２３４ 当 中 的 任 意 位 置,共 有:A４４＝２４种排法．∴共有２４＋１２＋８＋１２＋２４＝８０． ９．BD　由１０－(m－１)＝５,得 m＝６． １０．AB　利用分类加法计数原理． 当x＝１时,y＝０,１,２,３,４,５,有６种不同的有序自然数对; 当x＝２时,y＝０,１,２,３,４,有５种不同的有序自然数对; 当x＝３时,y＝０,１,２,３,有４种不同的有序自然数对． 根据分类加法计数原理可得,共有 ６＋５＋４＝１５ 种 不 同 的 有 序 自然数对． １１．ABCD　当 A 或B 中有一个为零 时,则 可 表 示 出 ２条 不 同 的 直 线;当 AB≠０时,A 有５种选法,B 有４种选法,则可表示出５× ４＝２０ 条 不 同 的 直 线．由 分 类 加 法 计 数 原 理 知,共 可 表 示 出 ２０ ＋２＝２２条不同的直线． １２．ABCD　产品 A 与 B 相 邻,把 A,B 作 为 一 个 元 素 有A４４种 方 法, 而 A,B可交换位置,所以有２A４４＝４８种摆法;当 A,B相邻又满 足 A,C 相邻,有２A３３＝１２种摆法,;A 与 B 相 邻 且 A 与 C 不 相 邻,有４８－１２＝３６种摆法． １３．解析:因为A５x＋A４x＝４A３x, 所以 x ! (x－５)!＋ x! (x－４)!＝４ 􀅰 x!(x－３)! , 所以１＋ １x－４＝ ４ (x－３)(x－４) 即x２－６x＋５＝０,解得x＝５或x＝１(舍)． 答案:x＝５ １４．解析:任选一名当数学科代表 可 分 两 类,一 类 是 从 男 生 中 选,有 ４种选法;另一类是从 女 生 中 选,有 ３ 种 选 法．根 据 分 类 加 法 计 数原理,共有４＋３＝７种不同选法． 若选 男 女 生 各 一 名 当 组 长,需 分 两 步:第 １ 步,从 男 生 中 选 一 名,有４种选法;第２步,从女生 中 选 一 名,有 ３ 种 选 法．根 据 分 步乘法计数原理,共有４×３＝１２种不同选法． 答案:７　１２ １５．解析:由题意可知,满足条件的 E→F 有６条路径,F→G 有３条 路径,由分步乘法计数 原 理 知,可 以 选 择 的 最 短 路 径 共 有 ６×３ ＝１８(条)