江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（图片版）

$$2020～2021学年度第一学期期末考试 高二数学参考答案 一、单选题： 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4． 【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7.【答案】B 8．【答案】B  二、多选题 9．【答案】CD 10．【答案】AB 11.【答案】BCD 12．【答案】BD 三、填空题： 13．【答案】 14． 【答案】 15．【答案】 16．【答案】4， 四、解答题： 17. 在①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，③数列{an}满足 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答． 问题：设数列{an}的前n项和为Sn， ，_____． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）选① 数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12， 设等比数列{an}的公比为q，（q＞0）， 则a1q（1+q）＝2q（1+q）＝12，解得q＝2（﹣3舍去）， ……… 3分 所以an＝2n； ………………5分 选② 数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2， 可得Sn+1+2＝2（Sn+2），数列{Sn+2}是首项为S1+2＝4， 公比为2的等比数列， 则Sn+2＝2n+1，即为Sn＝2n+1﹣2， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n， ……………… 3分 a1＝2也满足上式， 所以an＝2n，n∈N*； ……………… 5分 选③ 2na1+2n﹣1a2+…+2an＝nan+1（1）， 当n≥2时，2n﹣1a1+2n﹣2a2+…+2an﹣1＝（n﹣1）an（2）， 由（2）×2﹣（1）可得2an＝nan+1﹣2（n﹣1）an，即an+1＝2an， 又因为a1＝2，a2＝2a1＝4，也满足上式， ……………… 3分 故数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＝2n，n∈N*； ……………… 5分 （2）由（1）可得an＝2n，bn＝ ……………… 7分 所以 ……………… 10分 18. 已知椭圆 和直线 . （1）当椭圆 与直线 有公共点时，求实数 的取值范围； （2）设直线 与椭圆 相交于 两点，求 的最大值. 解：（1）联立 ，得 . 因为椭圆 与直线 有公共点， 所以 ， ……………… 4分 解得 .所以实数 的取值范围是 ， ……………… 6分 （2）设 ，结合（1）的方程，有 ， 所以 ……………… 10分 . ……………… 12分 有（1）知，若椭圆 与直线 有两个交点，则 ，所以 . 所以当 时， 取得最大值 . 19. 已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）求数列{an•bn}的前n项和Tn． （3）设 ，n∈N*，求数列 的前2n项和． 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则 ， 等比数列{bn}的公比为q， 因为a1＝1，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10， 可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10， 解得q＝2，d＝1， ……………… 2分 则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n； ……………… 4分 （2）an•bn＝n•2n， 前n项和Tn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n， 2Tn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1， ……………… 6分 两式相减可得﹣Tn 化简可得Tn＝2+（n﹣1）•2n+1； ……………… 8分 （3）由 可得 则前n项和 ……………… 10分 则数列 的前2n项和为 ． ……………… 12分 20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD）及左右两侧两