7.3.1　正弦函数的性质与图像 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

7.3　三角函数的性质与图像 7.3.1　正弦函数的性质与图像 课程标准 学科素养 1．掌握y＝sin x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值． 2．会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题． 3．会利用五点作图法画出正弦函数的图像. 通过对正弦函数的性质与图像的学习，强化数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养. 知识点1　正弦函数的定义域、值域、奇偶性 1．正弦函数：对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 2．定义域与值域：正弦函数y＝sin x的定义域是R，值域是，当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数值的最大值是1，当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数值的最小值是－1. 3．正弦函数y＝sin x是奇函数，其图像关于原点中心对称． [微体验] 1．函数y＝sin x－1的最小值是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．－2　　　　 D．－1 C　[sin x∈[－1,1]，所以y＝sin x－1的最小值为－2.] 2．函数y＝sin(x＋π)的图像关于(　　) A．x轴对称　　 B．原点对称 C．y轴对称　　 D．直线x＝对称 B　[因为y＝sin(x＋π)＝－sin x为奇函数，所以其图像关于原点对称．] 知识点2　正弦函数的周期性 1．周期函数定义： 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． 对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期． 2．正弦函数的周期：正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. [微体验] 1．函数y＝2sin x－1的最小正周期是____________． 2π　[y＝sin x的最小正周期是2π，所以y＝2sin x－1的最小正周期是2π.] 2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝____________. －2　[因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，所以f(7)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.] 知识点3　正弦函数的单调性与零点 1．正弦函数y＝sin x在区间(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减． 2．正弦函数y＝sin x的零点是 kπ(k∈Z). [微体验] 1．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是(　　) A．[0，π]　　 B． C．　　 D．[π，2π] C　[由正弦曲线知y＝sin x在上是增函数．] 2．函数y＝2sin x的零点是____________． kπ，k∈Z　[令y＝0，得x＝kπ，k∈Z，所以函数的零点是kπ，k∈Z.] 知识点4　正弦函数的图像 1．一般地，函数y＝sin x的图像称为正弦曲线，利用五点法作正弦曲线，这五个点是： (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． y＝sin x，x∈[0,2π]的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像． 2．正弦函数y＝sin x的图像对称轴为x＝＋kπ，对称中心为(kπ，0)，其中k∈Z. [微体验] 1．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点(　　) A．　　 B． C．(π，0)　　 D．(2π，0) A　[易知不是关键点．] 2．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像与函数y＝1的图像的交点个数是(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 A　[当x＝时，y＝1，所以函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像与函数y＝1的图像的交点个数是1个．] 探究一　正弦函数的性质 (1)已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．－1　　　　 D．±1 (2)函数y＝sin x的最小正周期是____________． (3)比较sin(－320°)与sin 700°的大小． (1)A　[函数定义域为R，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin x＋|a|，所以|a|＝0，从而a＝0.] (2)4　[令z＝x，且y＝sin z的最小正周期为2π. ∴sin＝sin ∴由周期函数定义，T＝4是y＝sin x的最小正周期．] (3)解　∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)， 又函