9.2 正弦定理与余弦定理的应用 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 课程标准 学科素养 1.结合实例，理解测量不便到达的两点之间的距离的方案，掌握正、余弦定理在测量高度方面的应用． 2．掌握数学建模的应用，理解正、余弦定理在测量距离与角度等方面的应用. 通过学习正、余弦定理的实际应用，强化数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P9] 知识点1　实际应用问题中的专用名词与术语 (1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 线段 叫做基线． (2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线 上方 的角叫仰角，目标视线在水平视线 下方 的角叫俯角(如图①)． (3)方位角：指从正北方向按 顺时针 转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的 小于90° 的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (5)坡度：坡面与水平面所成的 二面角 的度数． [微体验] 1．思考辨析 (1)若点A在点B的北偏西50°，则点B在点A的西偏北50°. (　　) (2)方向角的取值范围是0°～360°，方位角的取值范围是0°～90°. (　　) (3)方位角是270°的方向正好是正西方向． (　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是 (　　) A．α＞β　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° B　[如图，在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角，根据水平线平行，得α＝β. ] 知识点2　正弦定理和余弦定理的应用 1．测量 高度 问题、测量 距离 问题、测量角度问题、台风问题等． 2．解三角形应用题的一般步骤： [微体验] 1．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地之间的距离为 (　　) A．6 km B．7 km C．8 km D．5 km B　[如图，在△ABC中，AB＝3 km，BC＝2 km，∠ABC＝150°. 由余弦定理得AC＝＝＝＝7 (km)． ∴A，C两地之间的距离为7 km.] 2．要测出杭州夕照山雷峰塔BC的高，从山脚A测得AC＝62 m，塔顶B的仰角α＝45°，已知山坡的倾斜角β＝15°，则雷峰塔高BC＝ (　　) A．70 m B．31 m C．62 m D．62 m D　[由题可知，∠ABC＝90°－α＝45°，∠BAC＝α－β＝45°－15°＝30°，由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝62(m)．] [对应学生用书P10] 探究一　测量高度问题 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D．现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB． [分析]　本题考查正弦定理在实际问题中的应用，由于CD及∠BCD、∠BDC已知，因此可利用正弦定理先求出BC，然后求塔高． 解　 在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)． 由正弦定理得＝. ∴BC＝＝. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝. ∴塔高AB为. [方法总结]　解决测量高度问题的步骤 　, [跟踪训练1]　如图所示，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10 m，则旗杆的高度为 m. 30　[由题意知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°. 由正弦定理，得＝，解得AN＝20(m)． 在Rt△AMN中，MN＝20sin 60°＝30 (m)． 故旗杆的高度为30 m．] 探究二　测量距离问题 如图，隔河看到两个目标A，B，但均不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离． [分析]　要求出A，B之间的距离，把AB放在△ABC(或△ADB)中，但不管在哪个三角形中，AC，BC(或AD，BD)这些量都是未知的．再把AC，BC(或AD，BD)放在△ACD，△BCD中求出它们的值． 解　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°， ∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝ km. 在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°. 在△BCD中，由正弦定理， 得BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB ＝()2＋2－2×cos 75°＝5. ∴AB＝ km. ∴两个目标A、B之