9.1.2 余弦定理 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

9.1.2　余弦定理 课程标准 学科素养 1.借助平面向量的数量积，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理及其推论． 3．能用余弦定理解三角形，并能判断三角形的形状. 通过学习余弦定理及其应用，达成直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P4] 知识点1　余弦定理 1．符号语言：在△ABC中，a2＝ b2＋c2－2bccos A ， b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C . 2．文字语言：三角形任意一边的平方，等于其他两边的 平方和 减去这两边与它们夹角 余弦的积 的 2 倍． [微体验] 1．在△ABC中，符合余弦定理的是 (　　) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ 答案　A 2．在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝ cm. 60　[由余弦定理得： a＝ 　＝ ＝60(cm)．] 知识点2　余弦定理的推论 cos A＝ ，cos B＝ ，cos C＝ . [微体验] 1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝6，b＝8，c＝5，则角B为 (　　) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 C　[由余弦定理得cos B＝＝＝－<0. 又0°<B<180°，因此角B为钝角．] 2．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则C＝ (　　) A．30° B．45° C．135° D．150° B　[由余弦定理得cos C＝＝，又C为△ABC的内角，∴C＝45°.] 知识点3　余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题： (1)已知 三边 解三角形； (2)已知 两边和它们的夹角 解三角形． [微体验] 1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 . 120°　[设中间角为θ，则θ为锐角， cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．] 2．在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则AC＝ . 　[利用余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋4－2×1×2×＝3，∴AC＝.] [对应学生用书P4] 探究一　已知两边及其夹角解三角形 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A． [分析]　已知两边及其夹角，利用余弦定理求c，再用正弦定理或余弦定理的推论求角A． 解　解法一：cos 15°＝cos(45°－30°)＝， sin 15°＝sin(45°－30°)＝. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－. 又b>a，∴B>A．∴角A为锐角． 由正弦定理，得sin A＝sin C＝×＝. ∴A＝30°. 解法二：cos 15°＝cos(45°－30°)＝. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－. ∴cos A＝＝. 又0°<A<180°，∴A＝30°. [方法总结]　已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解) 方法一： ①利用余弦定理求出第三边； ②利用正弦定理求出一个角； ③利用三角形内角和定理求出第三个角． 方法二： ①利用余弦定理求出第三边； ②利用余弦定理求出一个角； ③利用三角形内角和定理求出第三个角． 注意：方法一中的②步，注意结合三角形中的边角关系(大角对大边，小角对小边)，以免产生增根． [跟踪训练1]　(多空题)在△ABC中，AC＝2，AB＝2(＋1)，A＝120°，则BC＝ ，C＝ ，B＝ . 3＋　45°　15°　[由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A ＝22＋4(＋1)2－2×2×2(＋1)× ＝24＋12， ∴BC＝ ＝3＋. 由正弦定理得sin C＝＝＝ ＝， 又0°<C<60°， ∴C＝45°，∴B＝180°－120°－45°＝15°.] 探究二　已知三边解三角形 已知△ABC的三边长分别为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的各角度数． [分析]　利用余弦定理的推论求出两个角，利用三角形的内角和定理求出第三个角． 解　由余弦定理的推论， 得cos A＝ ＝＝， cos B＝＝＝. ∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，b＜a＜c，∴A＝60°，B＝45°. ∴C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°. [方法总结]　已知三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的推论求出两个角； (2)用三角形内角和定