9.1.1 正弦定理 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 课程标准 学科素养 1.结合实例，了解已知两边和夹角的三角形的面积公式的推理过程，掌握三角形面积公式的应用． 2．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形． 3．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状. 通过学习正弦定理，达成直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P1] 知识点1　三角形的面积公式 一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝ bcsin A . acsin B ＝ absin C ＝ [微体验] 1．在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝，则S△ABC的值为 (　　) A． B． C．1 D． A　[S△ABC＝.]＝×1×2×absin C＝ 2．在△ABC中，若a＝1，c＝2，B＝60°，则△ABC的面积为 (　　) A． B． C．1 D． B　[S△ABC＝.]＝×1×2×acsin B＝ 知识点2　正弦定理 符号 语言 ＝ ＝ 文字 语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的 正弦 的比 相等 [微体验] 1．下列有关正弦定理的叙述正确的有 (　　) ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一个定值； ④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　[正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比是一个定值，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．] 2．在△ABC中，一定成立的等式是 (　　) A．asin A＝bsin B B．acos A＝bcos B C．asin B＝bsin A D．acos B＝bcos A C　[由正弦定理知，，∴asin B＝bsin A．] ＝ 知识点3　解三角形 1．把三角形的 三个角 与 三条边 都称为三角形的元素． 2．已知三角形的若干元素求其他元素一般称为 解三角形 . 3．利用正弦定理解三角形常见的题型有 (1)已知两角一边，解三角形，有且只有 一解 ； (2)已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有 两解 、 一解 或 无解 . [微体验] 1．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则b＝ (　　) A．5 B．10 C．10 D．5 A　[由正弦定理.]＝5＝得，b＝＝ 2．在△ABC中，已知A＝45°，c＝，a＝2，则C为 (　　) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° A　[利用正弦定理可得.又0°＜C＜180°，故C＝30°或150°.又A＝45°，c<a，∴ C＝30°.]，从而sin C＝＝ 知识点4　正弦定理的推论及变形 1．正弦定理的推论：设R是△ABC外接圆的半径，则＝ 2R . ＝＝ 2．正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)： (1)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； (2)sin A＝ ； ，sin C＝ ，sin B＝ (3)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C . [微体验] 1．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于 (　　) A．2∶5∶6 B．6∶5∶2 C．6∶2∶5 D．不确定 A　[由正弦定理，知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶5∶6.] 2．△ABC中，若a＝2，sin A＝，则△ABC外接圆的半径R等于 . 3　[由正弦定理的推论，得2R＝＝6.即R＝3.] [对应学生用书P2] 探究一　已知两角一边解三角形 已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c. [分析]　先由三角形内角和求B，再由正弦定理求b、c. 解　∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理，得b＝)， ＋＝40sin(45°＋60°)＝10(＝ c＝， ＝20＝ ∴B＝105°，b＝10(.)，c＝20＋ [方法总结]当已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：(1)利用三角形内角和定理求出第三个角；(2)利用正弦定理求出另外两边． [跟踪训练1]　在△ABC中，b＝20，A＝60°，C＝45°，求B，a，c. 解　B＝180°－A－C＝75°. 由正弦定理，得a＝＝＝ ＝， －10＝30＝ c＝－20. ＝20＝＝ ∴B＝75°，a＝30－20.，C＝20－10 探究二　已知两边和其中一边的对角解三角形 在△ABC中，根据下列条件，解三角形． (1)A＝60°，c＝； ，a＝ (2)a＝，B＝4