阶段复习课(十一) 立体几何初步 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

[对应学生用书P66] [对应学生用书P66] 一、空间几何体的直观图、表面积与体积 1．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)． 2．几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用． 3．求解与球有关的组合体问题的关键是求出球的半径，在解决时要充分借助于图形(空间图或截面图)化空间问题为平面问题． [训练1]　如图，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2，则原平面图形的实际面积是 . 20　[由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是梯形，且AB，CD的长度不变，仍为6和4，高BC＝4，故所求面积S＝×(4＋6)×4＝20.] [训练2]　如图所示，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且分别切AB，BC，CD于点A，E，D，将其绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，且球的表面积与圆台的侧面积之比为3∶4，求圆台的体积． 解　设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，则根据题意得圆台的AD＝2R，DC＝CE＝r1， AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90°，OE⊥BC， ∴r1·r2＝R2，l＝r1＋r2. 又∵S球＝4πR2，S圆台侧＝π(r1＋r2)·l， 且S球∶S圆台侧＝3∶4，∴4πR2∶πl(r1＋r2)＝3∶4， ∴(r1＋r2)2＝R2， ∴V台＝πh·(r＋r＋r1·r2) ＝·2R·[(r1＋r2)2－r1·r2] ＝·2R·＝πR3. 故圆台的体积为πR3. [训练3]　已知三棱锥A­BCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥A­BCD的每个面都相切，即球心O到三棱锥A­BCD每个面的距离都为r)，求三棱锥A­BCD的体积． 解　连接AO，BO，CO，DO，则三棱锥A­BCD被分割成为四个小三棱锥：O­ABC，O­ABD，O­ACD，O­BCD， 并且这四个小三棱锥的顶点都为O，高都为r，底面分别为△ABC，△ABD，△ACD，△BCD． 故有V三棱锥A­BCD＝V三棱锥O­ABC＋V三棱锥O­ABD＋V三棱锥O­ACD＋V三棱锥O­BCD＝S△ABC·r＋S△ABD·r＋S△ACD·r＋S△BCD·r ＝(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝Sr. 二、共点、共线、共面问题 1．三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上． 2．共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合． 3．三线共点问题 证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． [训练4]　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. 求证：(1)E、F、G、H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上． 证明　(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD． ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面． (2)∵G，H不是BC，CD的中点， ∴EF∥GH，且EF≠GH，故EFHG为梯形． ∴EG与FH必相交，设交点为M，而EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD． 又∵平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上． [训练5]　正方体ABCD­A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M.求证：点C1、O、M共线． 证明　如图，因为A1A∥C1C， 所以直线A1A，C1C确定平面A1C． 因为O∈A1C，A1C⊂平面A1C， 所以O∈平面A1C． 因为平面BC1D∩直线A1C＝O， 所以O∈平面BC1D， 所以O在平面A1C与平面BC1D的交线上． 因为AC∩BD＝M， 所以M∈平面BC1D，且M∈平面A1C． 所以平面BC1D∩平面A1C＝C1M. 所以O∈C1M.　即O、C1、M三点共线． 三、平行问题 1．立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由平行线的传递性和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以