第9章 习题课 正弦定理与余弦定理的综合 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

习题课——正弦定理与余弦定理的综合 课程标准 学科素养 1.掌握三角形的面积公式及其应用． 2．熟练掌握利用正、余弦定理判断三角形形状的方法． 3．能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题. 通过学习正、余弦定理的应用，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P6] 知识点1　正、余弦定理 1．正弦定理：设R是△ABC外接圆的半径，则＝ ＝ ＝ 2R . 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝ b2＋c2－2bccos A ， b2＝ a2＋c2－2accos B ，c2＝ a2＋b2－2abcos C . [微体验] 1．在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝30°，则∠C＝ (　　) A．45°　　　　　 B．15° C．45°或135° D．15°或105° C　[∵AB＝AC，由正弦定理得＝，又∵∠B＝30°，∴sin C＝，又∵AB>AC，∴∠C＝45°或∠C＝135°.] 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，且c＝2a，则cos B等于 (　　) A． B． C．　　　 D． B　[因为b2＝ac，且c＝2a，由余弦定理得cos B＝＝＝.] 知识点2　三角形的面积 1．若记△ABC的面积为S，则S＝ absin C ＝ acsin B ＝ bcsin A . 2．三角形面积公式的其他形式： (1)S△ABC＝，其中R为△ABC的外接圆半径； (2)S△ABC＝2R2sin Asin Bsin C，其中R为△ABC的外接圆半径； (3)S△ABC＝(a＋b＋c)r，其中r为△ABC内切圆的半径； (4)S△ABC＝，其中p＝. [微体验] 1．在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为 (　　) A． B． C．3 D．3 B　[C＝180°－30°－120°＝30°，∴a＝c＝2， ∴面积S＝acsin B＝×2×2×sin 120°＝.] 2．已知三角形的面积为，其外接圆的面积为π，则这个三角形的三边之积为 (　　) A．1 B．2 C． D．4 A　[由题意得，外接圆的半径R＝1， S＝absin C＝ab·＝＝. ∴abc＝1.] 知识点3　三角形中有关边和角的常用性质 (1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝ π ； (2)在△ABC中，a>b⇔ A>B ⇔ sin A>sin B ； (3)在△ABC中，a＋b > c，b＋c > a，c＋a > b； (4)在△ABC中，A为锐角⇔cos A>0⇔a2 < b2＋c2； A为直角⇔cos A＝0⇔a2 ＝ b2＋c2； A为钝角⇔cos A<0⇔a2 > b2＋c2. [微体验] 1．在△ABC中，A＝30°，B＝60°，C＝90°，那么三边之比a∶b∶c等于 (　　) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶∶2 D．2∶∶1 C　[由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.] 2．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则实数x的取值范围为 . (，)　[由题意，得解得＜x＜.] [对应学生用书P7] 探究一　利用正余弦定理解三角形 在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝2，求c. [分析]　已知两边及其中一边的对角，法一利用余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A建立关于c的一元二次方程，解方程即可．法二利用正弦定理求出角B，C，再求c. 解　 法一：在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，化简得c2－2c＋1＝0，∴c＝1. 法二：由正弦定理＝，得sin B＝＝1， ∴B＝90°，C＝30°.由勾股定理，得c2＝b2－a2＝4－3＝1， ∴c＝1. [方法总结]已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，基本解法有两种：方法一，先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用内角和定理求出第三个角，最后用正弦定理求出第三边；方法二，先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边(注意边的取舍)，再利用余弦或正弦定理求其他的两个角． [跟踪训练1]　在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，则c＝ . 5　[由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝9＋c2－6×c，整理得5c2－18c－35＝0，解得c＝5或c＝－(舍去)，故c＝5.] 探究二　利用正余弦定理判断三角形的形状 已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试判断此三角形的形状． [分析]　本题考查正、余弦定理的应用，可以利用正、余弦定理化边为角或化角为边来判断． 解　 解法一：(利用边的关系判断) 由正弦定理，得＝. ∵2cos Asin B＝si