10.3 复数的三角形式及其运算 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

10.3　复数的三角形式及其运算 课程标准 学科素养 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式． 2．了解复数的代数形式与三角形式之间的转换． 3．了解复数三角形式的乘除法及其几何意义. 通过学习复数的三角形式及其运算，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P22] 知识点1　复数的三角形式 1．复数的三角形式：一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边， 射线OZ 为终边的一个角，则r＝|z|＝ ，a＝ rcos θ ，b＝ rsin θ ，从而z＝a＋bi＝ r(cos θ＋isin θ) ，式子中的 r(cos θ＋isin θ) 称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地， a＋bi 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的 辐角 .如图所示． 2．辐角主值：在 [0,2π) 内的辐角称为z的辐角主值，记作 arg z . [微体验] 1．思考辨析 (1)复数z的任意两个辐角之间都相差2π的整数倍． (　　) (2)任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个． (　　) (3)实数0不能写成三角形式． (　　) (4)复数0的辐角主值是0. (　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．复数＋i化成三角形式，正确的是 (　　) A．cos＋isin B．cos＋isin C．cos＋isin D．cos＋isin B　[复数＋i的模r＝1，cos θ＝，sin θ＝，所以可取θ＝arg＝.即＋i＝cos＋isin.] 知识点2　复数三角形式的乘法 1．乘法法则：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2)＝ r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] . 2．文字语言：两个复数z1，z2相乘，z1的模 乘以 z2的模等于z1z2的模，z1的辐角与z2的辐角 之和 是z1z2的辐角． 3．复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为，，将绕 原点 按逆时针方向旋转角θ2，再将的模变为原来的 r2 倍，如果所得向量为，则对应的复数即为 z1z2 ，如图所示． 4．若n∈N，则[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]． [微体验] 1．思考辨析 (1)两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的积． (　　) (2)一个复数与i相乘，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转. (　　) (3)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2[cos2θ＋isin2θ]． (　　) 答案　 (1)×　(2)√　(3)× 2．设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为 (　　) A．3i B．3 C．－3i D．3 A　[z1z2＝×6＝3＝3i.] 知识点3　复数三角形式的除法 1．除法法则：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则＝＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] . 2．文字语言：两个复数z1，z2相除，z1的模 除以 z2的模等于的模，z1的辐角 减去 z2的辐角是的辐角． 3．复数相除的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为，，将绕原点按 顺时针 旋转θ2，再将的模变为原来的 倍，如果所得向量为，则对应的复数即为. [微体验] 1．思考辨析 (1)两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角除以除数的辐角． (　　) (2)一个复数除以i，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转. (　　) (3)若θ是非零复数z的一个辐角，则－θ一定是其共轭复数的一个辐角． (　　) 答案　 (1)×　(2)√　(3)√ 2．设复数z1＝8(cos π＋isin π)，z2＝2，则为 (　　) A．4 B．4 C．4 D．4 D　[＝＝ 4＝4.] [对应学生用书P23] 探究一　复数的代数形式改写成三角形式 把下列复数的代数形式改写成三角形式． (1)3i；　 (2)－10；　 (3)2－2i；　(4)－1＋i. 解　(1)因为复数3i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以|3i|＝3，arg(3i)＝， 所以3i＝3. (2)因为复数－10在复平面内所对应的点在x轴负半轴上，所以|－10|＝10，arg(－10)＝π. 所以－10＝10(cos π＋isin π)． (3)因为复数2－2i的模|2－2i|＝＝2，cos θ＝，sin θ＝－，所以取θ＝arg(2－2