10.2.2 复数的乘法与除法 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

10.2.2　复数的乘法与除法 课程标准 学科素养 1.掌握复数代数表示式的乘除运算． 2．了解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．了解i的幂的周期性． 4．理解实系数一元二次方程在复数范围内的解集. 通过学习复数的乘法与除法，加强数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P19] 知识点1　复数的乘法 1．复数积的定义：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称 z1z2 (或 z1×z2 )为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . 2．复数的乘法运算满足的运算律：对任意复数z1，z2，z3，有交换律：z1z2＝ z2z1 ， 结合律：(z1z2)z3＝ z1(z2z3) ， 对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 . [微体验] 1．思考辨析 (1)两个复数的积仍然是复数． (　　) (2)复数的积的运算，跟多项式乘法运算一样，再利用i2＝－1即可． (　　) (3)互为共轭复数的两个复数的积是一个实数． (　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1z2＝ (　　) A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋4i A　[z1z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝4＋2i.] 知识点2　复数乘法运算的性质 1．∀z∈C，z＝ |z|2 ＝ ||2 . 2．z的n次方：n个相同的复数z相乘时，仍称为z的 n次方 (或 n次幂 )，并记作 zn ，即zn＝ 　　 n个 3．当m，n 均为正整数时，zmzn＝ zm＋n ，　( zm )n＝ zmn ，　(z1z2)n＝ zz . 4．和平方公式：(z1＋z2)2＝ z＋2z1z2＋z ， 平方差公式：z－z＝ (z1＋z2)(z1－z2) . [微体验] 1．思考辨析 (1)当z1＝z2时，有z1z1＝z2z1. (　　) (2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0. (　　) 答案　(1)√　(2)× 2．(1＋i)4＝ . －4　[(1＋i)4＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝－4.] 知识点3　复数的除法 1．复数商的定义：如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的 商 ，并记作z＝(或z＝ z1÷z2 )，其中z1称为 被除数 ，z2称为除数． 2．复数除法的运算性质：当ω为非零复数时，有＝，＝＋. 3．复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称 为z的倒数． 4．求两个复数的商的方法： 分母实数化 . 5．规定：当z为非零复数且n是正整数时，z0＝1，z－n＝. [微体验] 1．思考辨析 (1)两个复数的商仍然是复数． (　　) (2)计算两个复数的商时，最终结果的分母可以为虚数． (　　) (3)复数不存在负整数次幂． (　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．在复平面内，复数对应的点位于 (　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[因为＝＝＋i，所以对应点为，在第一象限．] 知识点4　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 1．实系数一元二次方程的定义：当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为 实系数一元二次方程 . 2．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有 两个不相等的实数根 ； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有 两个相等的实数根 ； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有 两个互为共轭的虚数根 . 3．如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，那么 [微体验] 1．思考辨析 (1)当Δ＝b2－4ac<0时，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在复数范围内有两个根． (　　) (2)在复数范围内，一元二次方程x2＋3x＋1＝0没有根． (　　) 答案　(1)√　(2)× 2．在复数范围内，方程4x2＋9＝0的根为 . ±i　[因为x2＝－＝2，所以x＝±i.] [对应学生用书P20] 探究一　复数代数形式的乘法运算 (1)已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于 (　　) A．2 B． C．－　 D．－2 (2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是 . (1)A　(2)5　[(1)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2. (2)(1＋2i)