10.1.2 复数的几何意义 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

10.1.2 复数的几何意义 课程标准 学科素养 1.理解复数的几何意义． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念，以及用向量的模来表示复数的模的方法． 3．理解共轭复数的含义及性质. 通过学习复数的几何意义，达成数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养. [对应学生用书P14] 知识点1　复平面与复数的一种几何意义 1．复平面：建立了 直角坐标系 来表示复数的平面也称为复平面． 2．实轴、虚轴的含义：在复平面内，x轴上的点对应的都是 实数 ，因此x轴称为 实轴 ；y轴上的点除了 原点 外，对应的都是 纯虚数 ，为了方便起见，称y轴为 虚轴 . 3．复数的几何意义：复数集与平面直角坐标系的 点集 之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔ 点Z(a，b) . [微体验] 1．思考辨析 (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (　　) (2)在复平面内，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数． (　　) 答案　(1)√　(2)× 2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为 (　　) A．(1，i) B．(1，－i)　 C．(1,1) D．(1，－1) D　[复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．] 知识点2　共轭复数 1．共轭复数的概念：一般地，如果两个复数的实数 相等 ，而虚部互为 相反数 ，则称这两个复数互为共轭复数． 2．共轭复数的代数表示：复数z的共轭复数用 表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝ a－bi . 3．互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于 实轴 对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于 实轴 对称，则这两个复数互为 共轭复数 . [微体验] 1．思考辨析 (1)实数没有共轭复数． (　　) (2)纯虚数的共轭复数还是纯虚数． (　　) (3)复数z与它的共轭复数表示的点关于虚轴对称． (　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[∵＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限．] 知识点3　复数的另一种几何意义与复数的模 1．复数的另一种几何意义：复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量＝ (a，b) . 2．复数的模：一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的 模 (或 绝对值 )，复数z的模用 |z| 表示，因此，|z|＝ . 当b＝0时，|z|＝＝ |a| ，这说明复数的模是实数绝对值概念的推广． 3．一般地，两个共轭复数的模 相等 ，即 |z|＝|| . [微体验] 1．若＝(0，－3)，则对应的复数为 (　　) A．0 B．－3 C．－3i D．3 C　[由＝(0，－3)，得点Z的坐标为(0，－3)，所以对应的复数为0－3i＝－3i.] 2．复数z＝1＋i，则|z|＝ . 2　[|z|＝ ＝2.] [对应学生用书P15] 探究一　复数与复平面内的点一一对应 当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上；(2)y轴负半轴上；(3)第四象限的角平分线上． [分析]　根据复数z的实部、虚部分别是复平面内与z对应的点的横、纵坐标，由对应点所在的位置列出方程或方程组求解． 解　　∵k为实数，∴k2－3k－4，k2－5k－6都是实数， ∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)． (1)复数z对应的点位于x轴正半轴上， 则 解得∴k＝6. (2)复数z对应的点位于y轴负半轴上， 则 解得∴k＝4. (3)复数z对应的点位于第四象限的角平分线上， 则解得 ∴k＝5. [方法总结]　利用复数与点的对应解题的步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． [跟踪训练1]　已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 (　　) A．(－3,1)　　　 B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) A　[z＝(m＋3)＋(m－1)i对应点的坐标为(m＋3，m－1)，该点在第四象限，所以解得－3<m<1.] 探究二　复数与平面向量的一一对应关系 若复数z＝4＋3i与其共轭复数所对应的向量分别为，，求△OAB的周长． 解　因为复数z＝4＋3i与其共轭复数所对应的向量分别为，，所以＝(4,3)，＝(4，－3)，如图，AB⊥x轴， 则||＝|