专题15 空间几何体（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

专题15 空间几何体（客观题） 一、单选题 1．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠 A．98颗 B．106颗 C．120颗 D．126颗 【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】D 【解析】作出圆锥的轴截面图如图，由题意，，，， 设，则，即． 则最大放入珍珠的体积， 因为一颗珍珠的体积是．由，最多可以放入珍珠126颗．选D. 2．已知正方体的所有顶点都在球O的表面上，若球的体积为，则正方体的体积为． A． B． C． D． 【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】D 【分析】先求出球的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方体的体积． 【解析】球的体积为，即，解得， 设正方体的棱长为，由题意知，即， 解得，正方体的体积．故选D． 3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 A． B． C． D． 【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】A 【解析】根据三视图可知，该四棱锥的直观图如图所示，底面为对角线长为2的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为2，其体积为，故选A． 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积．即已知圆锥的底面周长为6丈，高为2丈，求圆锥的体积．《算数书》中将圆周率近似取为3，则该困盖的体积(单位：立方丈)约为 A．2 B．3 C．4 D．6 【试题来源】2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试 【答案】A 【解析】设圆锥底面半径为，则，， ．故选A． 5．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 A．6 B．3 C．4 D．8 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试 【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是一个以直角梯形为底面，高为6的四棱柱， 所以体积为．故选A． 6．如图，已知四棱台的上下底面均为正方形，，则下述正确的是 A．该四棱台的高为 B． C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 【试题来源】四川省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期期中（理） 【答案】D 【解析】将四棱台的侧棱延长，相交于点，形成四棱锥 设正方形和的中心分别为，如图所示： A选项：由于，则分别为中点， ，，， 即四棱台的高为，故A错误； B选项：连接（或其补角）、即直线与所成的夹角， ，是等边三角形， ，即与所成的夹角为，故B错误； C选项：，， 则该四棱台的表面积，故C错误； D选项：设该四棱台外接球的球心到上底面的距离为， 则，，所以， 解得，则外接球半径， 故该四棱台外接球的表面积，故D正确，故选D. 7．刍甍，中国古代数学中的一种几何体．《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为 A．14 B． C．16 D． 【试题来源】四川省峨眉第二中学校2020-2021学年高三上学期11月月考（理） 【答案】B 【分析】由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其需要覆盖的面积． 【解析】根据三视图画出其立体图形：如图，茅草覆盖面积即为几何体的侧面积， 根据立体图形可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形． 其中，等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为；等腰三角形的底边长为2，高为，故侧面积为． 即需要茅草覆盖面积至少为，故选B． 8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，今有一球的体积与该商鞅铜方升的体积相当，设球的半径为，则(单位：寸)的值约为 A．2.9 B．3.0 C．3.1 D．3.2 【试题来源】河南省2021届高三名校联盟模拟信息卷（文） 【答案】B 【解析】由三视图作出直观图，如图，易得商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体组合而成， 故其体积， 设球的半径约为，则，得．故选B． 9．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知四棱锥为阳马，底面，其三视图如图所示，正视图是等腰直角三角形，其直角边长为